Калькулятор від’ємного біноміального розподілу
Обчислюйте точні та кумулятивні ймовірності від’ємного біноміального розподілу: введіть ймовірність успіху, цільову кількість успіхів і те, рахуєте ви загальну кількість випробувань чи невдач. Отримайте P(X = x), кумулятивні «хвости», середнє та дисперсію.
Обчислення ймовірностей від’ємного біноміального розподілу
Формула від’ємного біноміального розподілу
Де:
- \(p\) — ймовірність успіху в окремому випробуванні (\(0 < p \le 1\))
- \(r\) — цільова кількість успіхів
- \(n\) — загальна кількість випробувань до \(r\)-го успіху включно
- \(k\) — кількість невдач до \(r\)-го успіху, тобто \(k = n - r\)
- \(\binom{a}{b}\) — біноміальний коефіцієнт, число поєднань «з a по b»
Формула дає ймовірність того, що \(r\)-й успіх станеться саме у випробуванні \(n\), тобто що серед перших \(n-1\) випробувань рівно \(k\) невдач, а останнє випробування — успіх. Дві форми еквівалентні; використовуйте ту, яка відповідає вашому способу підрахунку.
Від’ємний біноміальний розподіл — приклад обчислення
Приклад: баскетболістка влучає 50% своїх штрафних кидків. Яка ймовірність, що її 3-й влучний кидок станеться саме у 5-й спробі?
Тут \(p = 0.5\), \(r = 3\), \(n = 5\), отже \(k = n - r = 2\) невдачі:
\[ P(N = 5) = \binom{4}{2} \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{2} = 6 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.1875 \]
Кумулятивна ймовірність досягти 3-го успіху на 5-й спробі або раніше:
\[ P(N \le 5) = \sum_{j=0}^{2} \binom{j+2}{j} 0.5^{3} = (1 + 3 + 6) \cdot 0.125 = 0.8125 \]
Результат: точна ймовірність становить \(0.1875\), тобто 18,75%. Кумулятивна ймовірність \(P(N \le 5)\) дорівнює 81,25%, середня кількість потрібних випробувань — \(r/p = 6\), а дисперсія — \(r(1-p)/p^{2} = 6\).
Як користуватися калькулятором
- Введіть Ймовірність успіху \(p\) — значення від 0 (не включно) до 1. Наприклад, введіть 0,5 для чесної монети.
- Введіть Цільову кількість успіхів \(r\) — кількість успіхів, якої ви хочете досягти (ціле число, не менше 1).
- Виберіть спосіб підрахунку в полі Рахувати за: «Загальна кількість випробувань (n)», якщо ви знаєте номер випробування, на яке має припасти \(r\)-й успіх, або «Невдачі до r-го успіху (k)», якщо натомість рахуєте невдачі. Калькулятор показує лише відповідне поле введення.
- Введіть Кількість випробувань \(n\) або Кількість невдач \(k\). За варіанту з випробуваннями \(n\) має бути не меншим за \(r\).
- Прочитайте результати: точну ймовірність, чотири кумулятивні ймовірності (\(\le\), \(<\), \(>\), \(\ge\)), середнє та дисперсію, формулу з підставленими значеннями і пояснення простими словами.
Що таке від’ємний біноміальний розподіл?
Від’ємний біноміальний розподіл описує кількість потрібних випробувань — або кількість невдач, що трапляються — для досягнення фіксованої кількості успіхів \(r\) у послідовності незалежних випробувань Бернуллі, кожне з яких має однакову ймовірність успіху \(p\). Він відповідає на запитання на кшталт: «Скільки штрафних кидків потрібно до 3-го влучання?» або «Скільки клієнтів ми обслуговуємо, перш ніж 5-й щось купить?»
Це дзеркальне відображення біноміального розподілу: біноміальний фіксує кількість випробувань і рахує успіхи, тоді як від’ємний біноміальний фіксує кількість успіхів і рахує випробування. Коли \(r = 1\), обидва розподіли збігаються — від’ємний біноміальний зводиться до геометричного розподілу.
Результати різняться залежно від способу підрахунку. Якщо рахувати загальну кількість випробувань \(N\), середнє дорівнює \(r/p\), а дисперсія — \(r(1-p)/p^2\). Якщо рахувати невдачі \(K\), середнє зменшується до \(r(1-p)/p\), а дисперсія лишається тією ж. Кумулятивні ймовірності показують, наскільки ймовірно завершити раніше чи пізніше: \(P(X \le x)\) — це шанс досягти \(r\)-го успіху до цього моменту, а \(P(X > x)\) — шанс, що це займе ще більше часу.
Припущення, обмеження та поради
- Незалежні випробування: модель припускає, що кожне випробування незалежне, а \(p\) лишається сталим. Вона не застосовна, коли ймовірність змінюється (наприклад, ефект навчання, вибір без повернення).
- Вибірка зупиняється на r-му успіху: це стандартна постановка від’ємного біноміального розподілу. Якщо ж ви проводите фіксовану кількість випробувань і рахуєте успіхи, використовуйте біноміальний розподіл.
- Перевірка коректності: \(p\) має лежати в \((0, 1]\), \(r\) — додатне ціле число, \(n \ge r\), а \(k \ge 0\). Калькулятор повідомляє про неприпустимі комбінації, а не повертає хибний результат.
- Читання «хвостів»: \(P(X \le x) + P(X > x) = 1\) — скористайтеся цим як швидкою перевіркою результату.
- Пов’язані інструменти: за дуже малого \(p\) і великого \(r\) від’ємний біноміальний розподіл можна наблизити розподілом Пуассона; за великого \(r\) добре працює наближення нормальним розподілом. Щоб обчислити біноміальні коефіцієнти вручну, див. калькулятор перестановок і комбінацій.
Часті запитання
Як обчислити ймовірність від’ємного біноміального розподілу вручну?
Спочатку визначте, що саме ви рахуєте. Для загальної кількості випробувань \(n\) обчисліть \( P(N=n)=\binom{n-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{n-r} \). Для кількості невдач \(k\) використайте \( P(K=k)=\binom{k+r-1}{k}\,p^{r}\,(1-p)^{k} \). Для малих чисел біноміальний коефіцієнт можна обчислити вручну, наприклад \(\binom{4}{2}=6\); для більших значень скористайтеся факторіалами або калькулятором комбінацій. Калькулятор підставляє ваші значення, тож ви можете перевірити кожен крок.
Яка різниця між від’ємним біноміальним і біноміальним розподілами?
Біноміальний розподіл фіксує кількість випробувань і питає, скільки станеться успіхів. Від’ємний біноміальний фіксує кількість успіхів \(r\) і питає, скільки випробувань (або невдач) потрібно, щоб її досягти. Типова помилка — використовувати біноміальну формулу, коли експеримент зупиняється на \(r\)-му успіху: такий сценарій описується від’ємним біноміальним розподілом. Коли \(r=1\), від’ємний біноміальний розподіл зводиться до геометричного.
Як перейти між способами підрахунку «випробування» і «невдачі»?
Два способи пов’язані простим співвідношенням \(n = k + r\): загальна кількість випробувань дорівнює сумі невдач та успіхів. Якщо 3-й успіх припадає на 7-ме випробування, це означає, що дорогою сталося \(k = 7 - 3 = 4\) невдачі. Ви можете перемкнути опцію «Рахувати за» в калькуляторі та ввести перетворене значення; обидві форми завжди дають однакові ймовірності.
Чому середня кількість випробувань дорівнює r/p, а не менше?
Кожне випробування успішне з ймовірністю \(p\), тож у середньому на один успіх потрібно \(1/p\) випробувань — наприклад, 2 спроби на одне влучання при \(p=0.5\). Отже, для досягнення \(r\) успіхів у середньому потрібно \(r \cdot 1/p = r/p\) випробувань. Це випливає з лінійності математичного сподівання і виконується навіть попри те, що випробування не проводяться фіксованими блоками. Якщо рахувати лише невдачі, середнє зменшується до \(r(1-p)/p\).
Чи можна ввести p у відсотках, наприклад 70 замість 0,7?
Ні — ймовірність успіху \(p\) потрібно вводити як десятковий дріб від 0 (не включно) до 1. Введіть 0,7 для 70%, 0,05 для 5% тощо. Значення 70 буде відхилено як неприпустиме, адже модель вимагає \(0 < p \le 1\). Результати показуються і як десяткові дроби, і у відсотках, тож на виході нічого перетворювати вручну не потрібно.
Які типові практичні застосування від’ємного біноміального розподілу?
Він застосовується щоразу, коли ви чекаєте на фіксовану кількість успіхів: скільки дзвінків потрібно зробити до 3-го продажу, скільки пацієнтів потрібно лікувати, перш ніж 5 відреагують на препарат, або скільки штрафних кидків до наступного влучання. Його також широко використовують як модель зліченних даних із наддисперсією (коли дисперсія більша за середнє), як-от кількість аварій або страхових випадів, де розподіл Пуассона погано пасує.
Чи є спосіб не підсумовувати багато ймовірностей для кумулятивного результату?
Так. Корисна тотожність пов’язує ці два розподіли: \( P(N \le n) = P(Y \ge r) \), де \(Y\) — біноміальна величина з тим самим \(p\) та \(n\) випробуваннями. Тобто ймовірність завершити не пізніше випробування \(n\) дорівнює ймовірності отримати щонайменше \(r\) успіхів у \(n\) випробуваннях, що можна перевірити біноміальним калькулятором. Для великого \(r\) добре працює також нормальне наближення із середнім \(r/p\) та дисперсією \(r(1-p)/p^2\).