Калькулятор модуля 3D-вектора

Як користуватися калькулятором модуля 3D-вектора

1. Введіть компоненту x свого вектора в поле Вектор X.
2. Введіть компоненту y в поле Вектор Y.
3. Введіть компоненту z в поле Вектор Z.
4. Модуль обчислюється автоматично й відображається під полями введення, округлений до трьох десяткових знаків.

Усі три поля допускають від’ємні значення та десяткові дроби, тому вектори, спрямовані в будь-який бік тривимірного простору, обробляються коректно.

Що таке модуль 3D-вектора?

Вектор у тривимірному просторі має і напрямок, і довжину. Довжина — яку називають модулем, нормою або евклідовою нормою — показує, «скільки» вектора є, незалежно від того, куди він спрямований. Її позначають \(\| \vec{v} \|\) або іноді просто \(| \vec{v} |\).

Геометрично модуль — це відстань по прямій лінії від початку координат \((0, 0, 0)\) до точки \((x, y, z)\), у якій вектор завершується. Саме тому формула — це теорема Піфагора, застосована двічі: спочатку для осей \(x\) і \(y\), а потім розширена на вісь \(z\). Результат завжди дорівнює нулю або є додатним числом — він ніколи не буває від’ємним, бо довжина не має напрямку.

Модуль важливий у багатьох практичних ситуаціях. У фізиці, якщо \(\vec{v}\) — вектор швидкості, його модуль є швидкістю руху; якщо це вектор сили, його модуль — величина сили в ньютонах. У 3D-графіці та розробці ігор модуль вектора переміщення дає відстань між двома точками, і це перший крок у нормалізації вектора (діленні кожної компоненти на модуль, щоб отримати одиничний вектор довжини 1).

Тлумачити результат просто: більший модуль означає довший або сильніший вектор. Модуль, що точно дорівнює 0, означає, що це нульовий вектор \((0, 0, 0)\), який взагалі не має напрямку.

Припущення, обмеження та поради

• Калькулятор припускає стандартний евклідів простір з ортонормованою системою координат \(x, y, z\). У косокутних або недекартових координатах формулу потрібно було б скоригувати.
• Модуль завжди невід'ємний. Якщо потрібна інформація про напрямок, її містять самі компоненти — сам модуль не каже, куди спрямований вектор.
• Результат округлюється до трьох десяткових знаків, чого достатньо для більшості домашніх завдань та інженерних розрахунків; враховуйте це в обчисленнях, що потребують вищої точності.
• Якщо потрібен одиничний вектор (довжини 1) того ж напрямку, розділіть кожну компоненту на модуль: \((x, y, z) / \| \vec{v} \|\).
• Для векторів, що лежать лише в площині, задайте \(z = 0\) або скористайтеся окремим калькулятором модуля 2D-вектора.

Серед пов’язаних інструментів, які спираються на операції з векторами, — калькулятор скалярного добутку 3D-векторів, який використовує модулі для обчислення скалярних добутків і кутів, та калькулятор відстані перспективної проєкції для роботи з відстанями у тривимірних сценах.