Binomialverteilung-Rechner

Q: Wie berechne ich eine Binomialwahrscheinlichkeit von Hand ohne Rechner?

Verwenden Sie die Formel P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Berechnen Sie zunächst den Binomialkoeffizienten, zum Beispiel binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Multiplizieren Sie dann mit p^k und (1-p)^n-k . Für kleine n können Sie auch alle Ausgänge auflisten, aber Fakultäten wachsen extrem schnell, sodass die Handrechnung ab etwa n = 20 unpraktikabel wird.

Q: Was ist der Unterschied zwischen „mindestens“, „höchstens“ und „genau“ k Erfolgen?

„Genau“ ist eine einzelne Wahrscheinlichkeit: P(X = k) . „Höchstens“ bedeutet k oder weniger: P(X ≤ k) . „Mindestens“ bedeutet k oder mehr: P(X ≥ k) . Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung von „mindestens k “ mit „mehr als k “ — Ersteres schließt k selbst ein, Letzteres ist P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) . Der Interpretationsblock in den Ergebnissen zeigt beide Varianten.

Q: Wie wandele ich Gewinnchancen oder „1 von N“-Chancen in die Wahrscheinlichkeit p um?

Der Rechner erwartet p als Prozentsatz. Haben Sie eine Quote „a zu b“, rechnen Sie mit p = a/(a+b) um und multiplizieren Sie mit 100. Eine Chance von „1 zu 6“ (wie ein Würfelwurf) bedeutet p ≈ 16.67% ; bei „1 zu 100“ geben Sie 1 ein. Dezimale Wahrscheinlichkeiten werden direkt umgerechnet: 0,35 entspricht 35 %.

Q: Was sagt mir der Erwartungswert np aus, und kann das tatsächliche Ergebnis weit davon entfernt sein?

Der Erwartungswert μ = np ist die durchschnittlich erwartete Anzahl an Erfolgen über viele Wiederholungen — keine Vorhersage für ein einzelnes Experiment. Einzelne Ergebnisse liegen typischerweise innerhalb von etwa μ ± 2σ (in rund 95 % der Fälle), wobei σ = √(np(1-p)) . Beispiel: Bei n = 100, p = 0.5 erwartet man etwa 50 Erfolge, meist zwischen 40 und 60.

Aktualisiert: 3 Oktober 2026

Berechnen Sie Binomialwahrscheinlichkeiten: P(X = k), kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k), P(X ≥ k) oder einen Bereich von Erfolgen. Geben Sie die Anzahl der Versuche, die Erfolgswahrscheinlichkeit und k ein, um zusätzlich Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zu erhalten.

Binomialwahrscheinlichkeiten berechnen

Formel der Binomialverteilung

Formel

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Wobei gilt:

\(n\) — Anzahl der unabhängigen Versuche
\(p\) — Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs (zwischen 0 und 1)
\(k\) — relevante Anzahl an Erfolgen (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — Binomialkoeffizient, die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Versuchen \(k\) Erfolge auszuwählen
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Verteilung

Die erste Formel liefert die Wahrscheinlichkeitsfunktion (pmf): die Chance auf genau \(k\) Erfolge in \(n\) Versuchen. Die zweite liefert die Verteilungsfunktion (cdf), also die Chance auf höchstens \(k\) Erfolge, die durch Aufsummieren der Wahrscheinlichkeitsfunktion von 0 bis \(k\) entsteht.

Binomialverteilung – Rechenbeispiel

Beispiel: Eine faire Münze wird 10-mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 5-mal Kopf zu erhalten? Hier sind \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Ergebnis: P(X = 5) = 0,246094 (24,61 %), P(X ≤ 5) = 0,623047 (62,30 %), P(X ≥ 5) = 0,623047 (62,30 %), Erwartungswert = 5, Varianz = 2,5, Standardabweichung ≈ 1,5811.

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie die Anzahl der Versuche (n) ein — eine ganze Zahl von 1 bis 10.000.
Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) als Prozentsatz zwischen 0 % und 100 % ein (z. B. 50 für eine faire Münze).
Wählen Sie den Modus unter Relevante Erfolge: „Genau k Erfolge“ für einen einzelnen Wert oder „Zwischen k₁ und k₂ Erfolgen“ für einen Bereich.
Geben Sie die Anzahl der Erfolge (k) ein. Im Bereichsmodus ist dies die untere Grenze k₁.
Wenn Sie den Bereichsmodus gewählt haben, geben Sie zusätzlich die obere Grenze (k₂) ein, die mindestens k₁ sein muss.
Lesen Sie die Ergebnisse ab: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) und im Bereichsmodus P(k₁ ≤ X ≤ k₂) sowie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Der Interpretationsblock listet außerdem komplementäre Wahrscheinlichkeiten wie P(X < k) und P(X > k) auf.

Was ist die Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche, bei denen jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) hat. Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ausgänge — Erfolg oder Misserfolg —, weshalb man von einem Bernoulli-Versuch spricht. Klassische Beispiele sind die Anzahl der Kopfwürfe bei einer Serie von Münzwürfen, die Anzahl defekter Teile in einer Stichprobe oder die Anzahl der Patienten, die auf eine Behandlung ansprechen.

Der Erwartungswert der Verteilung ist \(\mu = np\): Im Durchschnitt erwartet man \(n \cdot p\) Erfolge. Die Streuung wird durch die Varianz \(\sigma^2 = np(1-p)\) und die Standardabweichung \(\sigma\) gemessen. Bei \(p = 0.5\) ist die Verteilung symmetrisch um \(n/2\); liegt \(p\) nahe bei 0 oder 1, wird sie schief und häuft sich nahe 0 oder nahe \(n\).

Der Rechner unterscheidet zwischen exakten und kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beantwortet die Frage „Wie hoch ist die Chance auf genau k Erfolge?“, während die Verteilungsfunktion die Frage „Wie hoch ist die Chance auf höchstens k Erfolge?“ beantwortet. Kumulierte Werte sind in der Praxis oft nützlicher: Ist k beispielsweise eine Qualitätsgrenze, gibt P(X ≤ k) die Wahrscheinlichkeit an, innerhalb der Grenze zu bleiben, und 1 − P(X ≤ k) die Wahrscheinlichkeit, sie zu überschreiten. Beachten Sie, dass P(X ≥ k) das k selbst einschließt; benötigen Sie strikt mehr als k, verwenden Sie P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), das im Interpretationsblock angezeigt wird.

Annahmen, Grenzen und Tipps

Feste Anzahl von Versuchen. \(n\) muss im Voraus festgelegt sein. Ist die Anzahl der Versuche selbst zufällig, ist ein anderes Modell (z. B. die Poisson-Verteilung) besser geeignet.
Unabhängigkeit. Das Ergebnis eines Versuchs darf kein anderes beeinflussen. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Population verletzt diese Annahme; verwenden Sie stattdessen die hypergeometrische Verteilung.
Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit. \(p\) muss für jeden Versuch gleich sein. Ändert es sich von Versuch zu Versuch, ist das Binomialmodell nicht mehr anwendbar.
Großes n. Der Rechner verwendet ein numerisch stabiles Log-Gamma-Verfahren und verarbeitet daher große \(n\) (bis zu 10.000) ohne Überlauf. Bei sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten wird das Ergebnis in wissenschaftlicher Notation angezeigt.
Interpretation winziger Wahrscheinlichkeiten. Ein Ergebnis wie „≈ 0 %“ bedeutet nicht, dass etwas unmöglich ist — es kann schlicht bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als etwa \(10^{-8}\) ist. Prüfen Sie den neben dem Prozentsatz angezeigten Dezimalwert.
Faustregel für die Näherung. Bei großem \(n\), wenn \(np\) und \(n(1-p)\) beide größer als etwa 5 sind, lässt sich die Binomialverteilung gut durch eine Normalverteilung mit Erwartungswert \(np\) und Standardabweichung \(\sqrt{np(1-p)}\) annähern — praktisch für schnelle Überschlagsrechnungen.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich eine Binomialwahrscheinlichkeit von Hand ohne Rechner?

Verwenden Sie die Formel \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Berechnen Sie zunächst den Binomialkoeffizienten, zum Beispiel \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Multiplizieren Sie dann mit \( p^k \) und \( (1-p)^{n-k} \). Für kleine \( n\) können Sie auch alle Ausgänge auflisten, aber Fakultäten wachsen extrem schnell, sodass die Handrechnung ab etwa \( n = 20 \) unpraktikabel wird.

Was ist der Unterschied zwischen „mindestens“, „höchstens“ und „genau“ k Erfolgen?

„Genau“ ist eine einzelne Wahrscheinlichkeit: \( P(X = k) \). „Höchstens“ bedeutet \( k\) oder weniger: \( P(X \le k) \). „Mindestens“ bedeutet \( k\) oder mehr: \( P(X \ge k) \). Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung von „mindestens \( k \)“ mit „mehr als \( k \)“ — Ersteres schließt \( k\) selbst ein, Letzteres ist \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). Der Interpretationsblock in den Ergebnissen zeigt beide Varianten.

Wie wandele ich Gewinnchancen oder „1 von N“-Chancen in die Wahrscheinlichkeit p um?

Der Rechner erwartet \( p\) als Prozentsatz. Haben Sie eine Quote „a zu b“, rechnen Sie mit \( p = \frac{a}{a+b} \) um und multiplizieren Sie mit 100. Eine Chance von „1 zu 6“ (wie ein Würfelwurf) bedeutet \( p \approx 16.67\% \); bei „1 zu 100“ geben Sie 1 ein. Dezimale Wahrscheinlichkeiten werden direkt umgerechnet: 0,35 entspricht 35 %.

Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich, z. B. zwischen 3 und 7 Erfolgen?

Wählen Sie den Modus „Zwischen k₁ und k₂ Erfolgen“, geben Sie 3 als Anzahl der Erfolge und 7 als obere Grenze ein. Der Rechner berechnet \( P(k_1 \le X \le k_2) \), indem er die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufsummiert. Von Hand erhält man dasselbe Ergebnis mit \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Beide Grenzen sind eingeschlossen, der Bereich 3–7 umfasst also 3, 4, 5, 6 und 7 Erfolge.

Wann sollte ich die Binomialverteilung statt Poisson, Normalverteilung oder hypergeometrischer Verteilung verwenden?

Verwenden Sie die Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche fest ist und die Ausgänge unabhängig mit konstantem \( p\) sind. Verwenden Sie die hypergeometrische Verteilung, wenn Sie ohne Zurücklegen aus einer kleinen Population ziehen (z. B. beim Ziehen von Karten). Verwenden Sie Poisson, wenn Sie Ereignisse über ein festes Intervall statt über eine feste Anzahl von Versuchen zählen. Die Normalverteilung ist eine Näherung, die genau ist, wenn \( np\) und \( n(1-p)\) beide über 5 liegen.

Was sagt mir der Erwartungswert np aus, und kann das tatsächliche Ergebnis weit davon entfernt sein?

Der Erwartungswert \( \mu = np \) ist die durchschnittlich erwartete Anzahl an Erfolgen über viele Wiederholungen — keine Vorhersage für ein einzelnes Experiment. Einzelne Ergebnisse liegen typischerweise innerhalb von etwa \( \mu \pm 2\sigma \) (in rund 95 % der Fälle), wobei \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Beispiel: Bei \( n = 100\), \( p = 0.5\) erwartet man etwa 50 Erfolge, meist zwischen 40 und 60.

Warum wird mein Ergebnis als „≈ 0 %“ angezeigt — ist der Ausgang wirklich unmöglich?

Nein, er ist nicht unmöglich. „≈ 0 %“ bedeutet nur, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als etwa \( 10^{-8}\) ist. Prüfen Sie den neben dem Prozentsatz angezeigten Dezimalwert — sehr kleine Wahrscheinlichkeiten erscheinen in wissenschaftlicher Notation, z. B. \( 2.5 \times 10^{-12} \). Bei großem \( n\) können Werte, die weit vom Erwartungswert \( np\) entfernt liegen, astronomisch unwahrscheinlich, aber mathematisch weiterhin möglich sein.