Beta-Verteilung-Rechner
Geben Sie die Formparameter α und β ein, um Dichte, kumulierte und überschreitende Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Modus der Beta-Verteilung für beliebige Anteile zwischen 0 und 1 zu berechnen.
Beta-Wahrscheinlichkeiten, Dichte und Momente berechnen
Formel der Beta-Verteilung
Dabei gilt:
- α, β – Formparameter, beide größer als 0
- α steuert, wie stark Werte nahe 1 gewichtet werden, β die Gewichtung nahe 0
- α = β = 1 ergibt die Gleichverteilung auf [0, 1]
- α = β ergibt eine symmetrische, glockenförmige Verteilung mit Zentrum bei 0,5
- α, β < 1 ergibt eine U-förmige Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeitsmasse an beiden Randpunkten liegt
- Der Modus existiert nur, wenn α > 1 und β > 1
Die Dichte beschreibt, wie wahrscheinlich jeder Anteil x in [0, 1] unter Beta(α, β) ist. Die Verteilungsfunktion F(x) ist die regularisierte unvollständige Betafunktion \(I_x(α, β)\); Intervallwahrscheinlichkeiten ergeben sich aus \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).
Die Beta-Verteilung ist das Standardmodell für Größen auf dem Intervall [0, 1]: Anteile, Marktanteile, Raten und Wahrscheinlichkeiten. In der Bayes-Statistik ist sie zudem die natürliche A-priori- und A-posteriori-Verteilung für eine Erfolgswahrscheinlichkeit bei binären Daten.
Beta-Verteilung – Rechenbeispiel
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Beispiel: Eine Beta(2, 5)-Posteriorverteilung für eine Conversion-Rate. Werten Sie die Verteilung an der Stelle x = 0,3 aus.
\[ B(2, 5) = \frac{Γ(2)Γ(5)}{Γ(7)} = \frac{1 \cdot 24}{720} = \frac{1}{30} \]
\[ f(0.3) = 30 \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 30 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 2.1609 \]
\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \cdot 2.5 = 0.57983 \]
\[ \text{Mittelwert} = \frac{2}{7} = 0.28571, \quad σ^2 = \frac{10}{392} = 0.02551, \quad \text{Modus} = \frac{1}{5} = 0.2 \]
Ergebnis: f(0,3) ≈ 2,1609, P(X ≤ 0,3) ≈ 0,57983 (57,98 %), P(X > 0,3) ≈ 0,42018, Erwartungswert 0,28571, Varianz 0,02551, Modus 0,2. Wechselt man in den Intervallmodus mit a = 0,2 und b = 0,5, ergibt sich P(0,2 ≤ X ≤ 0,5) = F(0,5) − F(0,2) = 0,89063 − 0,34464 = 0,54599, also rund 54,6 %.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie den Formparameter Alpha (α) und den Formparameter Beta (β) ein. Beide müssen positiv sein.
- Wählen Sie aus, was berechnet werden soll: An einem einzelnen Anteil x für Dichte und überschreitende Wahrscheinlichkeiten an einem Punkt oder Über ein Intervall [a, b] für die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen zwei Anteilen liegt.
- Geben Sie den Anteil x (0 bis 1) ein oder die Untergrenze und Obergrenze des Intervalls.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Dichte, kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x), obere Rumpfwahrscheinlichkeit P(X > x), Intervallwahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Varianz, Modus sowie eine kurze schriftliche Interpretation.
Was ist die Beta-Verteilung?
Die Beta-Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Intervall [0, 1]. Wegen dieses beschränkten Wertebereichs ist sie das Modell der Wahl für jede Größe, die als Bruchteil oder Prozentsatz ausgedrückt wird: Conversion-Raten, Marktanteile, die Treffsicherheit von Tests, der Anteil fehlerhafter Stücke oder der Wert einer unbekannten Wahrscheinlichkeit selbst.
Die beiden Formparameter machen die Familie außerordentlich flexibel. Mit α = β = 1 erhält man die flache Gleichverteilung. Mit α = β > 1 ergibt sich eine symmetrische Glockenkurve mit Zentrum bei 0,5. Ungleiche Parameter verschieben die Verteilung Richtung 0 oder 1, während Werte unter 1 eine U-Form erzeugen, die Wahrscheinlichkeit an beiden Randpunkten anhäuft. Diese Flexibilität ist der Grund, warum die Beta-Verteilung überall auftaucht – von der Bayes-Statistik über das Projektmanagement (PERT) bis hin zu Bayes'schen A/B-Tests.
Ihre wichtigste Rolle spielt sie in der Bayes-Inferenz. Die Beta-Verteilung ist der konjugierte A-priori-Verteilung (konjugierte Prior) der Binomialverteilung: Beginnt man mit einer Prior-Verteilung Beta(α₀, β₀) für eine Erfolgswahrscheinlichkeit und beobachtet s Erfolge und n − s Misserfolge, ist die Posteriorverteilung exakt Beta(α₀ + s, β₀ + n − s). Ein flacher Beta(1, 1)-Prior mit 20 Versuchen und 5 Erfolgen ergibt beispielsweise eine Beta(6, 16)-Posteriorverteilung, deren Rumpfwahrscheinlichkeiten sich direkt aus diesem Rechner ablesen lassen – ein 95-%-Glaubwürdigkeitsintervall ist der mittlere Bereich, der 95 % der Wahrscheinlichkeit umfasst. Zur zugrunde liegenden Aktualisierungslogik siehe den Rechner zum Satz von Bayes.
Interpretation der Ergebnisse
Die Dichte f(x) ist die Höhe der Kurve an der Stelle x; sie ist selbst keine Wahrscheinlichkeit, aber ein größerer Wert bedeutet, dass Werte in der Nähe von x wahrscheinlicher sind. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit F(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Größe höchstens x beträgt, und die obere Rumpfwahrscheinlichkeit ist ihr Gegenstück 1 − F(x). Zusammen beantworten sie Fragen wie: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Conversion-Rate unter 20 % liegt?“ oder „Wie wahrscheinlich überschreitet sie 30 %?“
Der Erwartungswert α/(α+β) ist der Schwerpunkt der Verteilung und im Bayes-Kontext die Posterior-Schätzung des Anteils. Die Varianz nimmt mit wachsendem α + β ab – deshalb liefern mehr Daten (größere Posterior-Parameter) schärfere Schlüsse. Der Modus ist der wahrscheinlichste Einzelwert; er existiert nur, wenn beide Parameter größer als 1 sind. Vergleichen Sie mit dem Rechner für die Gleichverteilung, um den Spezialfall α = β = 1 zu sehen, und mit dem Rechner für die Gammaverteilung für deren unbeschränktes Gegenstück.
Tipps, Annahmen und Grenzen
- Die Verteilung ist nur auf [0, 1] definiert. Liegt Ihre Größe in einem größeren Bereich, skalieren Sie sie zuerst um oder verwenden Sie eine andere Verteilungsfamilie.
- Die Formparameter müssen streng positiv sein; der Rechner akzeptiert jeden positiven Wert, auch Bruchzahlen – das ist bei Bayes-Priors üblich (z. B. Beta(0,5; 0,5), der Jeffreys-Prior).
- Wenn α < 1 oder β < 1, ist die Dichte am entsprechenden Randpunkt unbeschränkt (unendlich); der Rechner weist darauf hin, und das ist mathematisch völlig normal.
- Im Intervallmodus muss die Obergrenze über der Untergrenze liegen; beide müssen in [0, 1] enthalten sein.
- In Bayes-Anwendungen kommt der Wahl der Prior-Parameter eine wichtige Rolle zu, wenn Daten knapp sind. Ein gleichförmiger Beta(1, 1)-Prior und ein Jeffreys-Beta(0,5; 0,5)-Prior können nach nur einer Handvoll Beobachtungen spürbar unterschiedliche Schlussfolgerungen liefern.
- Der komplementäre kumulierte Wert S(x) = P(X > x) ist praktisch für einseitige Fragen; der Intervallmodus deckt zweiseitige Fragen direkt ab.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten der Beta-Verteilung von Hand?
Verwenden Sie die Dichte \( f(x) = x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}/B(\alpha,\beta) \) mit \( B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta) \). Bei ganzzahligen Parametern vereinfacht sich die Verteilungsfunktion zu einer Binomialsumme: Ist \(\beta\) eine ganze Zahl, so gilt \( F(x) = \sum_{j=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{j} x^j (1-x)^{\alpha+\beta-1-j} \). Deshalb ergibt Beta(2, 5) \( F(0.3) = 1 - 0.7^5(1+5\cdot 0.3) \). Für nicht ganzzahlige Parameter benötigen Sie die unvollständige Betafunktion, die der Rechner numerisch auswertet.
Wie wähle ich Alpha und Beta für meinen Anwendungsfall?
Eine praktische Faustregel für Anteile: Setzen Sie \(\alpha = \beta\) für eine symmetrische Einschätzung mit Zentrum bei 0,5, oder wählen Sie \(\alpha\) und \(\beta\) so, dass \(\alpha/(\alpha+\beta)\) Ihrem besten Schätzwert entspricht und \(\alpha+\beta\) Ihre Sicherheit widerspiegelt – kleine Summen (etwa 2) bedeuten vage Überzeugungen, große Summen (etwa 50) starke. In der Bayes-Analyse sind der gleichförmige Beta(1, 1)-Prior oder der Jeffreys-Beta(0,5; 0,5)-Prior gängige Optionen, wenn kein Vorwissen vorliegt.
Kann die Dichte größer als 1 sein? Ist das ein Fehler?
Nein, eine Dichte über 1 ist völlig zulässig. Eine Dichte ist eine Höhe, keine Wahrscheinlichkeit – nur die Fläche unter der Kurve muss 1 ergeben. Die Dichte von Beta(2, 5) erreicht etwa 2,16 bei x = 0,3, und schmale, konzentrierte Verteilungen können Spitzen von 10 oder mehr aufweisen. Nur kumulierte Wahrscheinlichkeiten und Intervallwahrscheinlichkeiten müssen zwischen 0 und 1 liegen. Zeigt der Rechner bei \(\alpha < 1\) oder \(\beta < 1\) eine Unendlichkeit an den Stellen 0 oder 1 an, ist auch das mathematisch korrekt.
Wie nutze ich die Beta-Verteilung für die Bayes-Aktualisierung eines Anteils?
Beginnen Sie mit einer Prior-Verteilung Beta(\(\alpha_0, \beta_0\)), beobachten Sie \(s\) Erfolge und \(f\) Misserfolge in \(n\) Versuchen – die Posteriorverteilung ist dann einfach Beta(\(\alpha_0 + s, \beta_0 + f\)). Geben Sie diese aktualisierten Parameter in den Rechner ein, um Posterior-Erwartungswert, Rumpfwahrscheinlichkeiten und Glaubwürdigkeitsintervalle abzulesen. Ein gleichförmiger Prior mit 5 Erfolgen in 20 Versuchen ergibt beispielsweise eine Beta(6, 16)-Posteriorverteilung – dank Konjugation ist keine aufwendige Integration nötig.
Kann ich Prozentwerte statt Anteile eingeben?
Geben Sie die Formparameter als Zahlen und den Anteil \(x\) als Wert zwischen 0 und 1 ein – aus 30 % wird also 0,3, nicht 30. Die Beta-Verteilung ist nur auf dem Intervall [0, 1] definiert, Werte außerhalb werden abgelehnt. Erhalten Sie Ergebnisse als Dezimalzahlen und möchten Prozentwerte, multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten mit 100: Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit von 0,57983 entspricht 57,98 %. Auch Erwartungswert und Modus sind Anteile – ein Erwartungswert von 0,28571 entspricht 28,57 %.
Warum existiert der Modus manchmal nicht?
Die Modusformel \( (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2) \) gilt nur, wenn beide Parameter größer als 1 sind. Bei \(\alpha \le 1\) fällt die Dichte Richtung 0 (oder geht bei 0 gegen Unendlich), bei \(\beta \le 1\) steigt sie Richtung 1 – es gibt also keinen inneren Gipfel, und der wahrscheinlichste Wert liegt am Rand. Sind beide kleiner als 1, ist die Verteilung U-förmig, und die Masse häuft sich an 0 und 1. In diesen Fällen zeigt der Rechner beim Modus einen Strich an.
Was ist der Unterschied zwischen einem Glaubwürdigkeitsintervall und einem Konfidenzintervall?
In diesem Rechner ist eine Intervallwahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) aus einer Beta-Posteriorverteilung ein Glaubwürdigkeitsintervall: Mit genau dieser Wahrscheinlichkeit liegt der Parameter selbst zwischen a und b – gegeben die Daten und den Prior. Ein klassisches Konfidenzintervall trifft keine solche Wahrscheinlichkeitsaussage über den Parameter, sondern beschreibt die langfristige Überdeckung des Verfahrens. Diese Unterscheidung spielt eine Rolle bei der Kommunikation von Ergebnissen; Bayes'sche Intervalle beantworten die Frage, die Menschen üblicherweise eigentlich stellen wollen.