Kalkulator rozkładu beta
Wpisz parametry kształtu α i β, aby obliczyć gęstość rozkładu beta, prawdopodobieństwa skumulowane i z prawego ogona, prawdopodobieństwa przedziałowe, średnią, wariancję i modę dla dowolnego udziału z przedziału od 0 do 1.
Obliczanie prawdopodobieństw, gęstości i momentów rozkładu beta
Wzór rozkładu beta
gdzie:
- α, β — parametry kształtu, oba większe od zera
- α steruje ciężarem wartości blisko 1, β — blisko 0
- α = β = 1 daje rozkład jednostajny na [0, 1]
- α = β daje symetryczny, dzwonowy rozkład wyśrodkowany w 0,5
- α, β < 1 daje rozkład w kształcie litery U, z masą prawdopodobieństwa przy obu końcach
- Moda istnieje tylko wtedy, gdy α > 1 i β > 1
Gęstość opisuje, jak prawdopodobny jest poszczególny udział x z przedziału [0, 1] przy rozkładzie Beta(α, β). Dystrybuanta F(x) to nieznormalizowana — dokładniej: znormalizowana — niepełna funkcja beta \(I_x(α, β)\), a prawdopodobieństwa przedziałowe wynikają z zależności \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).
Rozkład beta to standardowy model dla wielkości ograniczonych do przedziału [0, 1]: udziałów, udziałów w rynku, stóp i prawdopodobieństw. Jest też naturalnym rozkładem a priori i a posteriori dla prawdopodobieństwa sukcesu w schemacie dwumianowym w analizie bayesowskiej.
Rozkład beta – przykład obliczenia
{wp_code}
Przykład: rozkład a posteriori Beta(2, 5) dla współczynnika konwersji. Obliczamy wartości rozkładu dla x = 0,3.
\[ B(2, 5) = \frac{Γ(2)Γ(5)}{Γ(7)} = \frac{1 \cdot 24}{720} = \frac{1}{30} \]
\[ f(0.3) = 30 \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 30 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 2.1609 \]
\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \cdot 2.5 = 0.57983 \]
\[ \text{Średnia} = \frac{2}{7} = 0.28571, \quad σ^2 = \frac{10}{392} = 0.02551, \quad \text{Moda} = \frac{1}{5} = 0.2 \]
Wynik: f(0.3) ≈ 2,1609, P(X ≤ 0.3) ≈ 0,57983 (57,98%), P(X > 0.3) ≈ 0,42018, średnia 0,28571, wariancja 0,02551, moda 0,2. Po przełączeniu na tryb przedziałowy z a = 0,2 i b = 0,5 otrzymujemy P(0.2 ≤ X ≤ 0.5) = F(0.5) − F(0.2) = 0.89063 − 0.34464 = 0.54599, czyli około 54,6%.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz Parametr kształtu alfa (α) i Parametr kształtu beta (β). Oba muszą być dodatnie.
- Wybierz, co chcesz obliczyć: Dla pojedynczego udziału x — gęstość i prawdopodobieństwa z ogona w jednym punkcie, albo W przedziale [a, b] — prawdopodobieństwo trafienia między dwa udziały.
- Wpisz Udział x (od 0 do 1) albo Dolną i górną granicę przedziału.
- Odczytaj wyniki: gęstość, prawdopodobieństwo skumulowane P(X ≤ x), prawdopodobieństwo z prawego ogona P(X > x), prawdopodobieństwo przedziałowe, średnią, wariancję, modę, a także krótką interpretację słowną.
Czym jest rozkład beta?
Rozkład beta to rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przedziale [0, 1]. Dzięki takiemu ograniczeniu zakresu jest to naturalny model dla każdej wielkości wyrażonej jako ułamek lub procent: współczynników konwersji, udziałów w rynku, trafności testów, odsetka wadliwych wyrobów czy samej wartości nieznanego prawdopodobieństwa.
Dwa parametry kształtu dają tej rodzinie niezwykłą elastyczność. Dla α = β = 1 otrzymujemy płaski rozkład jednostajny. Dla α = β > 1 — symetryczną krzywą dzwonową wyśrodkowaną w 0,5. Nierówne parametry pochylają rozkład w stronę 0 lub 1, a wartości poniżej 1 dają kształt litery U, który nagromadza prawdopodobieństwo przy obu końcach. Dzięki tej elastyczności rozkład beta pojawia się wszędzie — od statystyki bayesowskiej, przez zarządzanie projektami (PERT), po bayesowskie testy A/B.
Najważniejszą rolę odgrywa w wnioskowaniu bayesowskim. Rozkład beta jest sprzężonym rozkładem a priori dla rozkładu dwumianowego: jeśli wystąpisz z rozkładem a priori Beta(α₀, β₀) na prawdopodobieństwo sukcesu i zaobserwujesz s sukcesów oraz n − s porażek, rozkład a posteriori to dokładnie Beta(α₀ + s, β₀ + n − s). Płaski rozkład a priori Beta(1, 1) przy 20 próbach i 5 sukcesach daje na przykład rozkład a posteriori Beta(6, 16), którego prawdopodobieństwa z ogona odczytasz bezpośrednio z tego kalkulatora — 95-procentowy przedział wiarygodności to środkowe 95% masy prawdopodobieństwa. Logikę samej aktualizacji opisuje kalkulator twierdzenia Bayesa.
Interpretacja wyników
Gęstość f(x) to wysokość krzywej w punkcie x; sama w sobie nie jest prawdopodobieństwem, ale większa wartość oznacza, że wielkości bliskie x są bardziej prawdopodobne. Prawdopodobieństwo skumulowane F(x) to prawdopodobieństwo, że badana wielkość wynosi najwyżej x, a prawdopodobieństwo z prawego ogona to jego dopełnienie, 1 − F(x). Razem pozwalają odpowiedzieć na pytania w rodzaju: „jakie jest prawdopodobieństwo, że współczynnik konwersji jest niższy niż 20%?” albo „jakie jest prawdopodobieństwo, że przekroczy 30%?”
Średnia α/(α+β) to punkt równowagi rozkładu, a w ujęciu bayesowskim — a posteriori oszacowanie udziału. Wariancja maleje wraz ze wzrostem α + β, dlatego więcej danych (większe parametry a posteriori) daje ostrzejsze wnioski. Moda to pojedyncza najbardziej prawdopodobna wartość; istnieje tylko wtedy, gdy oba parametry przekraczają 1. Porównaj wyniki z kalkulatorem rozkładu jednostajnego, aby zobaczyć szczególny przypadek α = β = 1, oraz z kalkulatorem rozkładu gamma — jego nieograniczonego odpowiednika.
Wskazówki, założenia i ograniczenia
- Rozkład jest określony tylko na [0, 1]. Jeśli Twoja wielkość przyjmuje wartości z szerszego zakresu, najpierw przeskaluj ją albo wybierz inną rodzinę rozkładów.
- Parametry kształtu muszą być ściśle dodatnie; kalkulator przyjmuje dowolną wartość dodatnią, w tym ułamki — jest to częste w rozkładach a priori (np. Beta(0.5, 0.5), rozkład a priori Jeffreysa).
- Gdy α < 1 lub β < 1, gęstość jest nieograniczona (nieskończona) w odpowiednim punkcie końcowym; kalkulator to sygnalizuje i jest to matematycznie normalne.
- W trybie przedziałowym górna granica musi być większa od dolnej; obie muszą mieścić się w [0, 1].
- W zastosowaniach bayesowskich wybór parametrów a priori ma znaczenie przy skąpych danych. Jednolity rozkład Beta(1, 1) i rozkład Jeffreysa Beta(0.5, 0.5) mogą prowadzić do wyraźnie różnych wniosków już po kilku obserwacjach.
- Dopełniona wartość dystrybuanty S(x) = P(X > x) przydaje się przy pytaniach jednostronnych; tryb przedziałowy obsługuje bezpośrednio pytania dwustronne.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć prawdopodobieństwa rozkładu beta ręcznie?
Korzystaj z gęstości \( f(x) = x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}/B(\alpha,\beta) \), gdzie \( B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta) \). Dla parametrów całkowitych dystrybuanta sprowadza się do sumy dwumianowej: jeśli \(\beta\) jest liczbą całkowitą, to \( F(x) = \sum_{j=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{j} x^j (1-x)^{\alpha+\beta-1-j} \). Dlatego właśnie Beta(2, 5) daje \( F(0.3) = 1 - 0.7^5(1+5\cdot 0.3) \). Dla parametrów niecałkowitych potrzebna jest niepełna funkcja beta — i to właśnie ją kalkulator liczy numerycznie.
Jak dobrać parametry alfa i beta do mojej sytuacji?
Praktyczna reguła dla udziałów: przyjmij \(\alpha = \beta\), jeśli Twoje przekonanie jest symetryczne i wyśrodkowane w 0,5, albo dobierz \(\alpha\) i \(\beta\) tak, by \(\alpha/(\alpha+\beta)\) równało się Twojemu najlepszemu oszacowaniu, a \(\alpha+\beta\) odzwierciedlało pewność — małe sumy (np. 2) oznaczają mało precyzyjne przekonania, duże (np. 50) — mocne. W analizie bayesowskiej przy braku wiedzy wcześniejszej częstym wyborem jest jednolity rozkład Beta(1, 1) albo rozkład a priori Jeffreysa Beta(0.5, 0.5).
Czy gęstość może być większa od 1? Czy to błąd?
Nie, gęstość powyżej 1 jest całkowicie poprawna. Gęstość to wysokość krzywej, a nie prawdopodobieństwo — warunek mówi jedynie, że pole pod krzywą musi wynosić 1. Gęstość Beta(2, 5) osiąga około 2,16 w punkcie x = 0,3, a wąskie, skoncentrowane rozkłady mogą mieć piki rzędu 10 i więcej. Tylko prawdopodobieństwa skumulowane i przedziałowe muszą mieścić się między 0 a 1. Jeśli kalkulator pokazuje nieskończoność w 0 lub 1 przy \(\alpha < 1\) lub \(\beta < 1\), jest to również matematycznie poprawne.
Jak użyć rozkładu beta do bayesowskiej aktualizacji udziału?
Wystąpisz z rozkładem a priori Beta(\(\alpha_0, \beta_0\)), obserwujesz \(s\) sukcesów i \(f\) porażek w \(n\) próbach, a rozkład a posteriori to po prostu Beta(\(\alpha_0 + s, \beta_0 + f\)). Wpisz te zaktualizowane parametry do kalkulatora i odczytaj a posteriori średnią, prawdopodobieństwa z ogona oraz przedziały wiarygodności. Na przykład jednolity rozkład a priori przy 5 sukcesach na 20 prób daje rozkład a posteriori Beta(6, 16) — dzięki sprzężności niepotrzebne jest żadne skomplikowane całkowanie.
Czy mogę wpisywać procenty zamiast udziałów?
Parametry kształtu wpisz jako liczby, a udział \(x\) jako wartość z przedziału od 0 do 1 — więc 30% to 0,3, a nie 30. Rozkład beta jest określony tylko na przedziale [0, 1], więc wartości spoza niego zostaną odrzucone. Jeśli otrzymasz wyniki jako ułamki dziesiętne, a chcesz procenty, pomnóż prawdopodobieństwa przez 100: skumulowane prawdopodobieństwo 0,57983 to 57,98%. Średnia i moda także są udziałami — średnia 0,28571 to 28,57%.
Dlaczego moda czasami nie istnieje?
Wzór na modę \( (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2) \) obowiązuje tylko wtedy, gdy oba parametry przekraczają 1. Jeśli \(\alpha \le 1\), gęstość maleje w kierunku 0 (lub dąży do nieskończoności w 0), a jeśli \(\beta \le 1\) — rośnie w kierunku 1, więc nie ma wewnętrznego maksimum; najbardziej prawdopodobna wartość leży w punkcie końcowym. Gdy oba parametry są mniejsze od 1, rozkład ma kształt litery U, z masą nagromadzoną przy 0 i 1. W takich przypadkach kalkulator pokazuje w miejscu modny myślnik.
Czym różni się przedział wiarygodności od przedziału ufności?
W tym kalkulatorze prawdopodobieństwo przedziałowe P(a ≤ X ≤ b) z rozkładu a posteriori beta to przedział wiarygodności: z takim prawdopodobieństwem sam parametr mieści się między a i b, przy znanym danych i rozkładzie a priori. Klasyczny przedział ufności nie formułuje o parametrze takiego prawdopodobieństwowego stwierdzenia — opisuje długoterminowe własności pokrycia procedury. Różnica ta ma znaczenie przy komunikowaniu wyników; przedziały bayesowskie odpowiadają na pytanie, które ludzie zwykle mają na myśli.