Калькулятор бета-распределения
Введите параметры формы α и β, чтобы вычислить плотность бета-распределения, кумулятивные и хвостые вероятности, вероятность попадания в интервал, среднее, дисперсию и моду для любой доли от 0 до 1.
Расчёт вероятностей, плотности и моментов бета-распределения
Формула бета-распределения
Обозначения:
- α, β — параметры формы, оба больше 0
- α определяет скопление значений возле 1, β — возле 0
- при α = β = 1 получается равномерное распределение на [0, 1]
- при α = β распределение симметрично, имеет форму колокола с центром в 0,5
- при α, β < 1 распределение принимает U-образную форму с массой у обоих концов отрезка
- мода существует только при α > 1 и β > 1
Плотность показывает, насколько вероятно каждое значение доли x из отрезка [0, 1] при Beta(α, β). Функция распределения F(x) — это регуляризованная неполная бета-функция \(I_x(α, β)\), а вероятности интервалов находятся по формуле \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).
Бета-распределение — стандартная модель для величин, живущих на отрезке [0, 1]: долей, частот, ставок и вероятностей. В байесовском анализе оно же служит естественным априорным и апостериорным распределением для вероятности успеха в биномиальной модели.
Бета-распределение — пример расчёта
{wp_code}
Пример: апостериорное распределение Beta(2, 5) для конверсии. Вычислим характеристики распределения в точке x = 0,3.
\[ B(2, 5) = \frac{Γ(2)Γ(5)}{Γ(7)} = \frac{1 \cdot 24}{720} = \frac{1}{30} \]
\[ f(0.3) = 30 \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 30 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 2.1609 \]
\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \cdot 2.5 = 0.57983 \]
\[ \text{Среднее} = \frac{2}{7} = 0.28571, \quad σ^2 = \frac{10}{392} = 0.02551, \quad \text{Мода} = \frac{1}{5} = 0.2 \]
Результат: f(0,3) ≈ 2,1609, P(X ≤ 0,3) ≈ 0,57983 (57,98%), P(X > 0,3) ≈ 0,42018, среднее 0,28571, дисперсия 0,02551, мода 0,2. Если перейти в режим интервалов с a = 0,2 и b = 0,5, получим P(0,2 ≤ X ≤ 0,5) = F(0,5) − F(0,2) = 0,89063 − 0,34464 = 0,54599, то есть около 54,6%.
Как пользоваться калькулятором
- Введите параметр формы альфа (α) и параметр формы бета (β). Оба должны быть положительными.
- Выберите, что нужно вычислить: в одной точке x — плотность и хвостовые вероятности в этой точке, либо на интервале [a, b] — вероятность попадания между двумя долями.
- Введите долю x (от 0 до 1) либо нижнюю и верхнюю границы интервала.
- Ознакомьтесь с результатами: плотность, кумулятивная вероятность P(X ≤ x), верхняя хвостовая вероятность P(X > x), вероятность интервала, среднее, дисперсия, мода, а также краткое толкование словами.
Что такое бета-распределение?
Бета-распределение — это семейство непрерывных распределений вероятностей, заданных на отрезке [0, 1]. Благодаря такой ограниченной области это стандартная модель для любой величины, выраженной долей или процентом: конверсии, доли рынка, точности тестов, доли брака или самой неизвестной вероятности.
Два параметра формы придают семейству удивительную гибкость. При α = β = 1 получается плоское равномерное распределение. При α = β > 1 — симметричная колоколообразная кривая с центром в 0,5. Неравные параметры смещают распределение к 0 или 1, а значения меньше 1 дают U-образную форму, собирающую вероятность у обоих концов. Именно из-за этой гибкости бета-распределение встречается повсюду — от байесовской статистики до управления проектами (PERT) и байесовских A/B-тестов.
Его главная роль — байесовский вывод. Бета-распределение — сопряжённое априорное распределение для биномиального: если взять априорное Beta(α₀, β₀) для вероятности успеха и наблюдать s успехов и n − s неудач, апостериорным распределением будет в точности Beta(α₀ + s, β₀ + n − s). Например, плоское априорное Beta(1, 1) после 20 испытаний, из которых 5 успешны, даёт апостериорное Beta(6, 16), хвостовые вероятности которого можно прочитать прямо в этом калькуляторе, — 95%-ный байесовский доверительный интервал охватывает средние 95% вероятностной массы. О логике обновления смотрите в калькуляторе теоремы Байеса.
Интерпретация результатов
Плотность f(x) — это высота кривой в точке x; сама по себе она не вероятность, но чем она больше, тем вероятнее значения вблизи x. Кумулятивная вероятность F(x) — вероятность того, что величина не превышает x, а верхняя хвостовая вероятность — её дополнение, 1 − F(x). Вместе они позволяют отвечать на вопросы вроде «какова вероятность, что конверсия ниже 20%?» или «какова вероятность, что она превысит 30%?»
Среднее α/(α+β) — точка равновесия распределения, а в байесовской постановке — апостериорная оценка доли. Дисперсия уменьшается с ростом α + β, поэтому чем больше данных (крупнее апостериорные параметры), тем более уверенные выводы. Мода — единственное наиболее вероятное значение; она существует, только когда оба параметра больше 1. Сравните с калькулятором равномерного распределения, чтобы увидеть частный случай α = β = 1, и с калькулятором гамма-распределения — его «неограниченным» аналогом.
Советы, допущения и ограничения
- Распределение определено только на [0, 1]. Если ваша величина живёт в более широком диапазоне, сначала переведите её в долю или используйте другое семейство распределений.
- Параметры формы должны быть строго положительными; калькулятор принимает любые положительные значения, включая дробные — это типично для байесовских априорных распределений (например, Beta(0.5, 0.5) — априорное распределение Джеффриса).
- При α < 1 или β < 1 плотность неограничена (бесконечна) в соответствующем конце отрезка; калькулятор сообщит об этом, и математически это совершенно нормально.
- В режиме интервалов верхняя граница должна быть больше нижней; обе должны лежать в [0, 1].
- В байесовских задачах выбор априорных параметров важен, когда данных мало. Равномерное априорное Beta(1, 1) и априорное Джеффриса Beta(0.5, 0.5) могут дать заметно разные выводы после считанных наблюдений.
- Дополнительная кумулятивная величина S(x) = P(X > x) удобна для односторонних вопросов; режим интервалов напрямую охватывает двусторонние.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить вероятности бета-распределения вручную?
Воспользуйтесь плотностью \( f(x) = x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}/B(\alpha,\beta) \), где \( B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta) \). Для целых параметров функция распределения сводится к биномиальной сумме: если \(\beta\) целое, то \( F(x) = \sum_{j=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{j} x^j (1-x)^{\alpha+\beta-1-j} \). Именно поэтому Beta(2, 5) даёт \( F(0.3) = 1 - 0.7^5(1+5\cdot 0.3) \). Для нецелых параметров потребуется неполная бета-функция — её калькулятор вычисляет численно.
Как подобрать параметры альфа и бета под мою задачу?
Практическое правило для долей: задайте \(\alpha = \beta\), если ваше мнение симметрично с центром в 0,5, либо подберите \(\alpha\) и \(\beta\) так, чтобы \(\alpha/(\alpha+\beta)\) равнялось вашей лучшей оценке, а \(\alpha+\beta\) отражало уверенность: малые суммы (например, 2) — расплывчатое мнение, большие (например, 50) — уверенное. В байесовском анализе при отсутствии априорных знаний обычно берут равномерное априорное Beta(1, 1) или априорное Джеффриса Beta(0.5, 0.5).
Может ли плотность быть больше 1? Это ошибка?
Нет, плотность выше 1 — совершенно нормальное явление. Плотность — это высота кривой, а не вероятность; равна 1 должна быть только площадь под кривой. Плотность Beta(2, 5) в точке x = 0,3 достигает примерно 2,16, а у узких, сконцентрированных распределений пик может быть 10 и выше. Между 0 и 1 обязаны лежать только кумулятивные и интервальные вероятности. Если калькулятор показывает бесконечность в точке 0 или 1 при \(\alpha < 1\) или \(\beta < 1\), это тоже математически корректно.
Как применять бета-распределение для байесовского обновления доли?
Возьмите априорное Beta(\(\alpha_0, \beta_0\)), наблюдайте \(s\) успехов и \(f\) неудач за \(n\) испытаний — апостериорным распределением будет просто Beta(\(\alpha_0 + s, \beta_0 + f\)). Введите обновлённые параметры в калькулятор, чтобы получить апостериорное среднее, хвостовые вероятности и доверительные интервалы. Например, равномерное априорное распределение с 5 успехами из 20 испытаний даёт апостериорное Beta(6, 16) — благодаря сопряжённости сложное интегрирование не требуется.
Можно вводить проценты вместо долей?
Параметры формы вводите как числа, а долю \(x\) — как значение от 0 до 1: 30% — это 0,3, а не 30. Бета-распределение определено только на отрезке [0, 1], поэтому значения вне его будут отклонены. Если результаты показаны десятичными дробями, а нужны проценты, умножьте вероятности на 100: кумулятивная вероятность 0,57983 означает 57,98%. Среднее и мода — тоже доли: среднее 0,28571 — это 28,57%.
Почему мода иногда не существует?
Формула моды \( (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2) \) применима, только когда оба параметра больше 1. Если \(\alpha \le 1\), плотность убывает к 0 (или уходит в бесконечность в нуле), а если \(\beta \le 1\) — растёт к 1, поэтому внутреннего пика нет: наиболее вероятное значение оказывается на конце отрезка. Когда оба параметра меньше 1, распределение U-образное с массой у 0 и у 1. В этих случаях калькулятор показывает прочерк вместо моды.
Чем байесовский доверительный интервал отличается от классического?
В этом калькуляторе вероятность интервала P(a ≤ X ≤ b), полученная из бета-апостериорного распределения, задаёт байесовский доверительный интервал (credible interval): именно с такой вероятностью сам параметр лежит между a и b при имеющихся данных и априорном распределении. Классический доверительный интервал не делает вероятностного утверждения о параметре — он описывает долговременную долю накрытий, которую даёт процедура. Это различие важно при представлении результатов: байесовские интервалы отвечают на тот вопрос, который люди обычно и имеют в виду.