Calculadora de Distribuição Beta

Q: Como calculo probabilidades da distribuição beta manualmente?

Use a densidade f(x) = x^α-1(1-x)^β-1/B(α,β) com B(α,β)=Gamma(α)Gamma(β)/Gamma(α+β) . Para parâmetros inteiros, a função acumulada se simplifica para uma soma binomial: se β é inteiro, F(x) = sum_j=α^α+β-1 binomα+β-1j x^j (1-x)^α+β-1-j . É por isso que Beta(2, 5) dá F(0.3) = 1 - 0.7^5(1+5· 0.3) . Para parâmetros não inteiros, é preciso recorrer à função beta incompleta, que é justamente o que a calculadora avalia numericamente.

Q: Como escolho alfa e beta para o meu caso?

Uma regra prática para proporções: use α = β para uma crença simétrica centrada em 0,5, ou escolha α e β de modo que α/(α+β) seja igual à sua melhor estimativa e α+β reflita o seu grau de confiança — somas pequenas (como 2) indicam crenças vagas; somas grandes (como 50), crenças fortes. Na análise bayesiana, escolhas comuns quando não há conhecimento prévio são a priori uniforme Beta(1, 1) ou a priori de Jeffreys Beta(0.5, 0.5).

Q: Como uso a distribuição beta para atualizar uma proporção de forma bayesiana?

Comece com uma priori Beta(α_0, β_0), observe s sucessos e f fracassos em n tentativas, e a posteriori será simplesmente Beta(α_0 + s, β_0 + f). Informe esses parâmetros atualizados na calculadora para ler a média a posteriori, as probabilidades de cauda e os intervalos de credibilidade. Por exemplo, uma priori uniforme com 5 sucessos em 20 tentativas resulta em uma posteriori Beta(6, 16) — sem necessidade de integrações complexas, graças à conjugação.

Q: Posso digitar porcentagens em vez de proporções?

Informe os parâmetros de forma como números e a proporção x como um valor entre 0 e 1; assim, 30% vira 0,3, e não 30. A distribuição beta está definida apenas no intervalo [0, 1]; portanto, valores fora dele serão rejeitados. Se os resultados aparecerem em decimais e você quiser porcentagens, multiplique as probabilidades por 100: uma probabilidade acumulada de 0,57983 significa 57,98%. A média e a moda também são proporções — uma média de 0,28571 equivale a 28,57%.

Q: Por que a moda às vezes não existe?

A fórmula da moda (α-1)/(α+β-2) só vale quando os dois parâmetros excedem 1. Se α ≤ 1, a densidade decresce em direção a 0 (ou explode em 0); se β ≤ 1, ela cresce em direção a 1 — logo não há pico no interior do intervalo, e o valor mais provável fica em uma das extremidades. Quando os dois são menores que 1, a distribuição tem forma de U, com massa acumulada tanto em 0 quanto em 1. Nesses casos, a calculadora exibe um traço no lugar da moda.

Q: Qual é a diferença entre intervalo de credibilidade e intervalo de confiança?

Nesta calculadora, uma probabilidade de intervalo P(a ≤ X ≤ b) obtida de uma posteriori beta é um intervalo de credibilidade : há essa probabilidade de o parâmetro estar entre a e b, considerando os dados e a priori. Um intervalo de confiança clássico não faz nenhuma declaração probabilística sobre o parâmetro — ele descreve a cobertura do procedimento no longo prazo. Essa distinção importa na comunicação de resultados; os intervalos bayesianos respondem à pergunta que as pessoas normalmente pretendem fazer.

Atualizado: 8 outubro 2026

Informe os parâmetros de forma α e β para calcular a densidade da distribuição beta, as probabilidades acumulada e de cauda, a probabilidade de intervalo, a média, a variância e a moda para qualquer proporção entre 0 e 1.

Calcule probabilidades, densidade e momentos da distribuição beta

Parâmetro de forma alfa

Forma α > 0: controla o peso dos valores próximos de 1. Com α = β = 1 obtém-se a distribuição uniforme em [0, 1].

Parâmetro de forma beta

Forma β > 0: controla o peso dos valores próximos de 0.

O que calcular

Calcular automaticamenteSe ativado, o resultado é atualizado automaticamente quando você altera qualquer valor.

Resultados da distribuição beta

Densidade na proporçãof(x)

Probabilidade acumulada P(X ≤ x)F(x)

Probabilidade da cauda superior P(X > x)S(x)

Probabilidade no intervalo P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Média

Variância

Moda (valor mais provável)

Como funciona e interpretação

Fórmula da distribuição beta

Fórmula

\[ f(x) = \frac{x^{α-1}(1-x)^{β-1}}{B(α, β)}, \quad F(x) = I_x(α, β), \quad \text{Média} = \frac{α}{α+β}, \quad σ^2 = \frac{αβ}{(α+β)^2(α+β+1)}, \quad \text{Moda} = \frac{α-1}{α+β-2} \]

Onde:

α, β — parâmetros de forma, ambos maiores que 0
α controla o peso dos valores próximos de 1; β controla o peso dos valores próximos de 0
α = β = 1 resulta na distribuição uniforme em [0, 1]
α = β resulta em uma distribuição simétrica, em forma de sino, centrada em 0,5
α, β < 1 resulta em uma distribuição em forma de U, com massa de probabilidade junto às duas extremidades
A moda existe apenas quando α > 1 e β > 1

A densidade descreve a chance de cada proporção x em [0, 1] sob Beta(α, β). A função acumulada F(x) é a função beta incompleta regularizada \(I_x(α, β)\), e as probabilidades de intervalo decorrem de \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).

A distribuição beta é o modelo padrão para quantidades restritas ao intervalo [0, 1]: proporções, participações de mercado, taxas e probabilidades. Ela também é a priori e a posteriori naturais para uma probabilidade de sucesso binomial na análise bayesiana.

Distribuição beta – exemplo de cálculo

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Exemplo: uma posteriori Beta(2, 5) para uma taxa de conversão. Avalie a distribuição em x = 0,3.

\[ B(2, 5) = \frac{Γ(2)Γ(5)}{Γ(7)} = \frac{1 \cdot 24}{720} = \frac{1}{30} \]

\[ f(0.3) = 30 \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 30 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 2.1609 \]

\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \cdot 2.5 = 0.57983 \]

\[ \text{Média} = \frac{2}{7} = 0.28571, \quad σ^2 = \frac{10}{392} = 0.02551, \quad \text{Moda} = \frac{1}{5} = 0.2 \]

Resultado: f(0,3) ≈ 2,1609, P(X ≤ 0,3) ≈ 0,57983 (57,98%), P(X > 0,3) ≈ 0,42018, média 0,28571, variância 0,02551, moda 0,2. Mudando para o modo intervalo com a = 0,2 e b = 0,5, obtém-se P(0,2 ≤ X ≤ 0,5) = F(0,5) − F(0,2) = 0,89063 − 0,34464 = 0,54599, ou cerca de 54,6%.

Como usar a calculadora

Informe o parâmetro de forma alfa (α) e o parâmetro de forma beta (β). Ambos devem ser positivos.
Escolha o que calcular: Em uma única proporção x, para a densidade e as probabilidades de cauda em um ponto, ou Em um intervalo [a, b], para a probabilidade de o resultado cair entre duas proporções.
Informe a Proporção x (de 0 a 1), ou o Limite inferior e o Limite superior do intervalo.
Leia os resultados: densidade, probabilidade acumulada P(X ≤ x), probabilidade de cauda superior P(X > x), probabilidade de intervalo, média, variância, moda, além de uma breve interpretação escrita.

O que é a distribuição beta?

A distribuição beta é uma família de distribuições de probabilidade contínuas definidas no intervalo [0, 1]. Por ser limitada a esse intervalo, é o modelo de referência para qualquer quantidade expressa como fração ou porcentagem: taxas de conversão, participações de mercado, precisão de testes, proporção de itens defeituosos ou o valor de uma probabilidade desconhecida.

Os dois parâmetros de forma dão à família uma flexibilidade notável. Com α = β = 1, você tem a distribuição uniforme, plana. Com α = β > 1, uma curva simétrica em forma de sino, centrada em 0,5. Parâmetros desiguais puxam a assimetria da distribuição para perto de 0 ou de 1, enquanto valores abaixo de 1 produzem uma forma de U que concentra probabilidade junto às duas extremidades. É essa flexibilidade que faz a distribuição beta aparecer em tudo, da estatística bayesiana ao gerenciamento de projetos (PERT) e aos testes A/B bayesianos.

Seu papel mais importante está na inferência bayesiana. A distribuição beta é a priori conjugada da distribuição binomial: se você parte de uma priori Beta(α₀, β₀) sobre uma probabilidade de sucesso e observa s sucessos e n − s fracassos, a posteriori é exatamente Beta(α₀ + s, β₀ + n − s). Uma priori plana Beta(1, 1) com 20 tentativas e 5 sucessos, por exemplo, leva a uma posteriori Beta(6, 16), cujas probabilidades de cauda podem ser lidas diretamente nesta calculadora — um intervalo de credibilidade de 95% corresponde aos 95% centrais da massa de probabilidade. Para a lógica de atualização por trás disso, veja a calculadora do Teorema de Bayes.

Como interpretar os resultados

A densidade f(x) é a altura da curva em x; ela não é, por si só, uma probabilidade, mas um valor maior indica que valores próximos de x são mais prováveis. A probabilidade acumulada F(x) é a probabilidade de a quantidade ser no máximo x, e a probabilidade de cauda superior é o seu complemento, 1 − F(x). Juntas, elas permitem responder a perguntas como “qual é a chance de a taxa de conversão ficar abaixo de 20%?” ou “qual é a chance de ela ultrapassar 30%?”

A média α/(α+β) é o ponto de equilíbrio da distribuição e, no contexto bayesiano, a estimativa a posteriori da proporção. A variância diminui conforme α + β cresce, e é por isso que mais dados (parâmetros a posteriori maiores) geram inferências mais precisas. A moda é o valor isolado mais provável; ela existe apenas quando os dois parâmetros excedem 1. Compare com a Calculadora de Distribuição Uniforme para ver o caso especial α = β = 1, e com a Calculadora de Distribuição Gama para a contraparte sem limite superior.

Dicas, premissas e limitações

A distribuição só está definida em [0, 1]. Se a sua quantidade varia em um intervalo maior, reescale-a primeiro ou use outra família.
Os parâmetros de forma devem ser estritamente positivos; a calculadora aceita qualquer valor positivo, inclusive frações, comuns em prioris bayesianas (por exemplo, Beta(0.5, 0.5), a priori de Jeffreys).
Quando α < 1 ou β < 1, a densidade é ilimitada (infinita) na extremidade correspondente; a calculadora avisa quando isso ocorre, e isso é matematicamente normal.
No modo intervalo, o limite superior deve ser maior que o inferior; ambos devem estar em [0, 1].
Em aplicações bayesianas, a escolha dos parâmetros da priori importa quando os dados são escassos. Uma priori uniforme Beta(1, 1) e uma priori de Jeffreys Beta(0.5, 0.5) podem levar a conclusões bem diferentes após apenas algumas observações.
O valor acumulado complementar S(x) = P(X > x) é útil para perguntas unilaterais; o modo intervalo cobre diretamente as perguntas bilaterais.

Perguntas frequentes

Como calculo probabilidades da distribuição beta manualmente?

Use a densidade \( f(x) = x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}/B(\alpha,\beta) \) com \( B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta) \). Para parâmetros inteiros, a função acumulada se simplifica para uma soma binomial: se \(\beta\) é inteiro, \( F(x) = \sum_{j=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{j} x^j (1-x)^{\alpha+\beta-1-j} \). É por isso que Beta(2, 5) dá \( F(0.3) = 1 - 0.7^5(1+5\cdot 0.3) \). Para parâmetros não inteiros, é preciso recorrer à função beta incompleta, que é justamente o que a calculadora avalia numericamente.

Como escolho alfa e beta para o meu caso?

Uma regra prática para proporções: use \(\alpha = \beta\) para uma crença simétrica centrada em 0,5, ou escolha \(\alpha\) e \(\beta\) de modo que \(\alpha/(\alpha+\beta)\) seja igual à sua melhor estimativa e \(\alpha+\beta\) reflita o seu grau de confiança — somas pequenas (como 2) indicam crenças vagas; somas grandes (como 50), crenças fortes. Na análise bayesiana, escolhas comuns quando não há conhecimento prévio são a priori uniforme Beta(1, 1) ou a priori de Jeffreys Beta(0.5, 0.5).

A densidade pode ser maior que 1? Isso é um erro?

Não, uma densidade acima de 1 é perfeitamente válida. Densidade é altura, não probabilidade — apenas a área sob a curva precisa ser igual a 1. A densidade de uma Beta(2, 5) chega a cerca de 2,16 em x = 0,3, e distribuições estreitas e concentradas podem ter picos de 10 ou mais. Somente as probabilidades acumuladas e de intervalo precisam ficar entre 0 e 1. Se a calculadora mostrar infinito em 0 ou 1 com \(\alpha < 1\) ou \(\beta < 1\), isso também está matematicamente correto.

Como uso a distribuição beta para atualizar uma proporção de forma bayesiana?

Comece com uma priori Beta(\(\alpha_0, \beta_0\)), observe \(s\) sucessos e \(f\) fracassos em \(n\) tentativas, e a posteriori será simplesmente Beta(\(\alpha_0 + s, \beta_0 + f\)). Informe esses parâmetros atualizados na calculadora para ler a média a posteriori, as probabilidades de cauda e os intervalos de credibilidade. Por exemplo, uma priori uniforme com 5 sucessos em 20 tentativas resulta em uma posteriori Beta(6, 16) — sem necessidade de integrações complexas, graças à conjugação.

Posso digitar porcentagens em vez de proporções?

Informe os parâmetros de forma como números e a proporção \(x\) como um valor entre 0 e 1; assim, 30% vira 0,3, e não 30. A distribuição beta está definida apenas no intervalo [0, 1]; portanto, valores fora dele serão rejeitados. Se os resultados aparecerem em decimais e você quiser porcentagens, multiplique as probabilidades por 100: uma probabilidade acumulada de 0,57983 significa 57,98%. A média e a moda também são proporções — uma média de 0,28571 equivale a 28,57%.

Por que a moda às vezes não existe?

A fórmula da moda \( (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2) \) só vale quando os dois parâmetros excedem 1. Se \(\alpha \le 1\), a densidade decresce em direção a 0 (ou explode em 0); se \(\beta \le 1\), ela cresce em direção a 1 — logo não há pico no interior do intervalo, e o valor mais provável fica em uma das extremidades. Quando os dois são menores que 1, a distribuição tem forma de U, com massa acumulada tanto em 0 quanto em 1. Nesses casos, a calculadora exibe um traço no lugar da moda.

Qual é a diferença entre intervalo de credibilidade e intervalo de confiança?

Nesta calculadora, uma probabilidade de intervalo P(a ≤ X ≤ b) obtida de uma posteriori beta é um intervalo de credibilidade: há essa probabilidade de o parâmetro estar entre a e b, considerando os dados e a priori. Um intervalo de confiança clássico não faz nenhuma declaração probabilística sobre o parâmetro — ele descreve a cobertura do procedimento no longo prazo. Essa distinção importa na comunicação de resultados; os intervalos bayesianos respondem à pergunta que as pessoas normalmente pretendem fazer.