Geometrische Verteilung – Rechner
Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit p und eine Versuchsnummer k ein und erhalten Sie P(X = k), die kumulierte Wahrscheinlichkeit, die Überschreitungswahrscheinlichkeit sowie Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung – der Wartezeit bis zum ersten Erfolg.
Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs in einem bestimmten Versuch
Formel der geometrischen Verteilung
Dabei gilt:
- \(p\) – Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem einzelnen Versuch (zwischen 0 und 1)
- \(k\) – die Nummer des Versuchs, bei dem der erste Erfolg eintritt (\(k = 1, 2, 3, \ldots\))
- \(P(X = k)\) – Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau im Versuch \(k\) eintritt
- \(E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\) – Erwartungswert und Varianz der benötigten Anzahl von Versuchen
Die geometrische Verteilung beschreibt, wie viele unabhängige, identische Versuche bis zum ersten Erfolg nötig sind: Man scheitert zunächst \(k-1\)-mal und hat dann einmal Erfolg.
Geometrische Verteilung – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Vertriebsmitarbeiter ruft potenzielle Kunden an, und jeder Anruf hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 20 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Abschluss genau beim fünften Anruf gelingt – und wie stehen die Chancen, bis dahin erfolgreich zu sein oder gar nicht?
\[ P(X = 5) = (1 - 0.2)^{5-1} \cdot 0.2 = 0.8^{4} \cdot 0.2 = 0.4096 \cdot 0.2 = 0.08192 \]
\[ P(X \le 5) = 1 - 0.8^{5} = 1 - 0.32768 = 0.67232 \]
\[ P(X > 5) = 0.8^{5} = 0.32768, \qquad E(X) = \frac{1}{0.2} = 5, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{0.8}{0.2^{2}} = 20 \]
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Abschluss genau beim fünften Anruf gelingt, beträgt etwa 0,0819 (8,19 %). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Abschluss innerhalb der ersten fünf Anrufe liegt bei 0,6723 (67,23 %), während die Wartezeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3277 (32,77 %) über den fünften Anruf hinausgeht. Im Schnitt sind 5 Anrufe nötig, bei einer Varianz von 20.
So bedienen Sie den Rechner
- Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit ein – die Chance auf einen Erfolg bei einem einzelnen Versuch, als Zahl zwischen 0 und 1 (z. B. 0,2 für 20 %).
- Geben Sie die Versuchsnummer ein – den Versuch \(k\), bei dem der erste Erfolg eintreten soll; es muss eine ganze Zahl größer oder gleich 1 sein.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: \(P(X = k)\) (erster Erfolg genau im Versuch \(k\)), \(P(X \le k)\) (Erfolg im Versuch \(k\) oder früher), \(P(X > k)\) (auch nach Versuch \(k\) noch kein Erfolg) sowie Erwartungswert \(E(X)\) und Varianz \(\mathrm{Var}(X)\).
- Werfen Sie einen Blick auf den Interpretationsblock: Dort finden Sie eine Zusammenfassung in klaren Worten, einschließlich der medianen Wartezeit und der Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit.
Was ist die geometrische Verteilung?
Die geometrische Verteilung beschreibt, wie viele unabhängige Versuche nötig sind, bis der erste Erfolg eintritt, wenn jeder Versuch mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p\) erfolgreich ist. Sie beantwortet Fragen wie: Wie viele Münzwürfe bis zum ersten Kopf, wie viele Anrufe bis zum ersten Abschluss, wie viele Bauteile müssen wir prüfen, bis wir das erste defekte finden? Die Zufallsvariable \(X\) zählt den Versuch, in dem der erste Erfolg eintritt; ihr Träger ist daher \(k = 1, 2, 3, \ldots\).
Die Wahrscheinlichkeiten fallen geometrisch ab – daher der Name. Der wahrscheinlichste einzelne Ausgang ist stets \(k = 1\) mit Wahrscheinlichkeit \(p\), und jeder spätere Versuch ist um den Faktor \(1 - p\) unwahrscheinlicher als der vorherige. Das bedeutet nicht, dass spätere Versuche „schlechter“ werden; es spiegelt nur die sinkende Wahrscheinlichkeit wider, so viele Fehlversuche in Folge zu überstehen.
Der Erwartungswert \(E(X) = 1/p\) gibt die zu erwartende Wartezeit an: Eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 20 % bedeutet im Schnitt etwa 5 Versuche. Die Varianz \((1-p)/p^2\) wächst schnell, wenn \(p\) klein wird – bei seltenen Ereignissen können die Wartezeiten also lang und stark schwankend sein. Der kumulierte Wert \(P(X \le k)\) ist oft das praktischste Ergebnis – etwa die Wahrscheinlichkeit, innerhalb von \(k\) Bewerbungen zu mindestens einem Vorstellungsgespräch eingeladen zu werden.
Eine berühmte Eigenschaft dieser Verteilung ist die Gedächtnislosigkeit: Egal, wie viele Fehlversuche bereits erlitten wurden – die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Versuch gelingt, ist weiterhin exakt \(p\). Vergangene Fehlversuche sagen nichts über die Zukunft aus – eine nützliche, bisweilen aber kontraintuitive Tatsache bei der Deutung von Serien.
Voraussetzungen, Grenzen und Hinweise
- Unabhängigkeit: Der Ausgang eines Versuchs darf keinen anderen beeinflussen. Karten, die ohne Zurücklegen gezogen werden, verletzen diese Bedingung – verwenden Sie stattdessen den Rechner für die hypergeometrische Verteilung.
- Konstantes p: Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss in jedem Versuch gleich sein. Ändert sie sich im Zeitverlauf, greift das geometrische Modell nicht mehr.
- Nur der erste Erfolg: Dieser Rechner modelliert die Wartezeit bis zum ersten Erfolg. Für die Wahrscheinlichkeit einer festen Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen siehe den Rechner für die Binomialverteilung; für die Wartezeit bis zum \(r\)-ten Erfolg verwenden Sie den Rechner für die negative Binomialverteilung.
- Zählweise: Diese Seite folgt der Standardkonvention, bei der \(X\) den Versuch des ersten Erfolgs zählt (\(k = 1, 2, \ldots\)). Manche Lehrbücher zählen stattdessen die Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)); dadurch verschieben sich alle Ergebnisse um eins.
- Kontinuierliches Pendant: Wenn Sie die Wartezeit kontinuierlich messen (z. B. Minuten bis zu einem Ereignis) statt Versuche zu zählen, ist der Rechner für die Exponentialverteilung das richtige Werkzeug.
Nützliche Kennwerte auf einen Blick
Für eine Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) gelten einige praktische Fakten:
| Größe | Formel | Beispiel (p = 0,2) |
|---|---|---|
| Wahrscheinlichster Versuch (Modus) | immer 1 | 1 |
| Erwartete Wartezeit \(E(X)\) | \(1/p\) | 5 Versuche |
| Mediane Wartezeit | \(\lceil \ln(0.5)/\ln(1-p) \rceil\) | 4 Versuche |
| Wahrscheinlichkeit, länger als \(k\) Versuche zu warten | \((1-p)^k\) | \(0.8^5 \approx 32.8\%\) |
Wegen der Gedächtnislosigkeit gilt \(P(X > k + j \mid X > j) = P(X > k)\): Nach jeder Fehlserie verhält sich die verbleibende Wartezeit exakt wie ein Neustart.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die geometrische Verteilung von Hand?
Bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) pro Versuch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau im Versuch \(k\) eintritt, \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p\). Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p\), erheben Sie sie in die Potenz \(k - 1\) und multiplizieren Sie mit \(p\). Beispiel mit \(p = 0.1\) und \(k = 3\): \(0.9^2 \times 0.1 = 0.081\), also eine Chance von 8,1 %.
Was ist ein „guter“ oder typischer Wert für die erwartete Wartezeit?
Die erwartete Wartezeit beträgt \(E(X) = 1/p\): Eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 10 % bedeutet im Schnitt etwa 10 Versuche, eine Chance von 50 % bedeutet 2 Versuche. Einen „guten“ Wert gibt es nicht – alles hängt von Ihrem \(p\) ab. Beachten Sie, dass der Erwartungswert bei kleinen \(p\) irreführen kann: Da die Varianz \((1-p)/p^2\) groß ist, liegen tatsächliche Wartezeiten oft deutlich unter oder über dem Durchschnitt.
Warum gibt es in Lehrbüchern zwei verschiedene Formeln für die geometrische Verteilung?
Es existieren zwei Konventionen. Die eine zählt den Versuch des ersten Erfolgs (Träger \(k = 1, 2, 3, \ldots\)) mit \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) und Erwartungswert \(1/p\) – das ist die Konvention dieses Rechners. Die andere zählt die Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg (Träger \(k = 0, 1, 2, \ldots\)) mit \(P(X = k) = (1-p)^k p\) und Erwartungswert \((1-p)/p\). Prüfen Sie vor dem Vergleichen von Ergebnissen, welche Konvention Ihr Lehrbuch verwendet.
Was ist der Unterschied zwischen geometrischer, Binomial- und negativer Binomialverteilung?
Die geometrische Verteilung zählt die Versuche bis zum ersten Erfolg. Die Binomialverteilung zählt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen. Die negative Binomialverteilung zählt die Versuche bis zum r-ten Erfolg (die geometrische Verteilung ist der Spezialfall \(r = 1\)). Wählen Sie danach, was Sie zählen: Wartezeit (geometrisch/negativ binomial) oder Anzahl der Erfolge (binomial).
Kann ich die Erfolgswahrscheinlichkeit als Prozentsatz wie 20 statt 0,2 eingeben?
Nein – dieser Rechner erwartet \(p\) als Dezimalzahl zwischen 0 und 1. Geben Sie 0,2 für 20 % ein, 0,05 für 5 % und so weiter. Bei der Eingabe von 20 meldet der Rechner, dass der Wert außerhalb des gültigen Bereichs liegt, da eine Wahrscheinlichkeit über 1 unmöglich ist. Um einen Prozentsatz umzurechnen, dividieren Sie ihn durch 100 oder verschieben Sie das Komma um zwei Stellen nach links.
Warum ist Versuch 1 immer der wahrscheinlichste Ausgang, selbst wenn p klein ist?
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion fällt streng monoton: \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) schrumpft mit jedem späteren Versuch um den Faktor \(1 - p\), sodass der Modus stets \(k = 1\) mit Wahrscheinlichkeit \(p\) ist. Das heißt nicht, dass ein früher Erfolg in absoluten Zahlen wahrscheinlich ist – bei \(p = 0.01\) hat der wahrscheinlichste einzelne Versuch nur eine Chance von 1 %. Es wird lediglich zunehmend unwahrscheinlicher, viele Fehlversuche in Folge zu überstehen.
Was passiert bei p = 1 oder p = 0?
Bei \(p = 1\) ist der Erfolg im ersten Versuch sicher: \(P(X = 1) = 1\), Erwartungswert 1, Varianz 0. Bei \(p = 0\) tritt der Erfolg nie ein und die Wartezeit ist unendlich – der Erwartungswert \(1/p\) ist nicht definiert, weshalb dieser Rechner \(p = 0\) ablehnt. In der Praxis gilt: Ist Ihr reales \(p\) exakt null, ist das Ereignis unmöglich, und kein stochastisches Modell greift.