Kalkulator rozkładu geometrycznego

Q: Jak obliczyć rozkład geometryczny ręcznie?

Przy prawdopodobieństwie sukcesu p w każdej próbie prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces nastąpi dokładnie w próbie k, wynosi P(X = k) = (1 - p)^k-1 p. Oblicz prawdopodobieństwo porażki q = 1 - p, podnieś je do potęgi k - 1 i pomnóż przez p. Na przykład dla p = 0.1 i k = 3: 0.9^2 × 0.1 = 0.081, czyli szansa 8,1%.

Q: Jaka jest dobra, typowa wartość oczekiwanego czasu oczekiwania?

Średni czas oczekiwania to E(X) = 1/p, więc 10-procentowa szansa na sukces oznacza średnio około 10 prób, a 50% — 2 próby. Nie ma „dobrej” wartości — wszystko zależy od Twojego p. Uwaga: przy małym p średnia bywa myląca, bo wariancja (1-p)/p^2 jest wtedy duża, więc rzeczywiste czasy oczekiwania często okazują się znacznie krótsze lub znacznie dłuższe od średniej.

Q: Dlaczego w podręcznikach są dwa różne wzory na rozkład geometryczny?

Istnieją dwie konwencje. Jedna liczy próbę pierwszego sukcesu (nośnik k = 1, 2, 3, ldots), z P(X = k) = (1-p)^k-1p i średnią 1/p — to właśnie jej używa ten kalkulator. Druga liczy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem (nośnik k = 0, 1, 2, ldots), z P(X = k) = (1-p)^k p i średnią (1-p)/p. Zanim porównasz odpowiedzi, sprawdź, której konwencji używa Twój podręcznik.

Q: Czym różnią się rozkłady geometryczny, dwumianowy i ujemny dwumianowy?

Rozkład geometryczny liczy próby do pierwszego sukcesu. Dwumianowy liczy liczbę sukcesów w ustalonej liczbie prób. Ujemny dwumianowy liczy próby do r-tego sukcesu (geometryczny to jego przypadek szczególny dla r = 1). Wybór zależy od tego, co liczysz: czas oczekiwania (geometryczny/ujemny dwumianowy) czy liczbę sukcesów (dwumianowy).

Q: Czy mogę podać prawdopodobieństwo sukcesu w procentach, np. 20 zamiast 0,2?

Nie — ten kalkulator oczekuje p jako liczby dziesiętnej z przedziału od 0 do 1. Wpisz 0,2 dla 20%, 0,05 dla 5% i tak dalej. Jeśli wpiszesz 20, kalkulator odrzuci tę wartość jako spoza zakresu, bo prawdopodobieństwo większe niż 1 jest niemożliwe. Aby zamienić procent na ułamek dziesiętny, podziel go przez 100 albo przesuń przecinek o dwa miejsca w lewo.

Q: Dlaczego próba pierwsza jest zawsze najbardziej prawdopodobnym wynikiem, nawet gdy p jest małe?

Funkcja prawdopodobieństwa maleje ściśle: P(X = k) = (1-p)^k-1p maleje 1 - p razy przy każdej kolejnej próbie, więc dominanta to zawsze k = 1 z prawdopodobieństwem p. Nie znaczy to, że wczesny sukces jest w sensie bezwzględnym prawdopodobny — przy p = 0.01 najbardziej prawdopodobna pojedyncza próba ma szansę ledwie 1%. Po prostu coraz mniej prawdopodobne staje się przetrwanie wielu porażek z rzędu.

Q: Co się dzieje, gdy p = 1 lub p = 0?

Przy p = 1 sukces jest pewny już w pierwszej próbie: P(X = 1) = 1, średnia 1, wariancja 0. Przy p = 0 sukces nigdy nie następuje, a czas oczekiwania jest nieskończony — średnia 1/p jest nieokreślona, dlatego kalkulator odrzuca p = 0. W praktyce, jeśli Twoje rzeczywiste p jest dokładnie zerowe, zdarzenie jest niemożliwe i żaden model probabilistyczny nie ma zastosowania.

Zaktualizowano: 8 października 2026

Wpisz prawdopodobieństwo sukcesu p oraz numer próby k, aby otrzymać P(X = k), prawdopodobieństwo skumulowane, prawdopodobieństwo ogona, średnią i wariancję rozkładu geometrycznego — czasu oczekiwania do pierwszego sukcesu.

Prawdopodobieństwo pierwszego sukcesu w danej próbie

Wzór rozkładu geometrycznego

Wzór

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}\, p \] \[ P(X \le k) = 1 - (1 - p)^{k}, \qquad P(X > k) = (1 - p)^{k} \] \[ E(X) = \frac{1}{p}, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^{2}} \]

Objaśnienie symboli:

\(p\) — prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie (między 0 a 1)
\(k\) — numer próby, w której następuje pierwszy sukces (\(k = 1, 2, 3, \ldots\))
\(P(X = k)\) — prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces wypadnie dokładnie w próbie \(k\)
\(E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\) — średnia i wariancja liczby potrzebnych prób

Rozkład geometryczny opisuje, ile niezależnych, identycznych prób trzeba przeprowadzić do pierwszego sukcesu: najpierw \(k-1\) razy ponosisz porażkę, a potem odnosisz jeden sukces.

Rozkład geometryczny – przykład obliczenia

Przykład: handlowiec dzwoni do potencjalnych klientów, a każde połączenie ma 20% szansę zakończyć się sprzedażą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza sprzedaż nastąpi dokładnie przy piątym połączeniu — i jakie są szanse, że sukces przyjdzie do tego momentu albo wcale?

\[ P(X = 5) = (1 - 0.2)^{5-1} \cdot 0.2 = 0.8^{4} \cdot 0.2 = 0.4096 \cdot 0.2 = 0.08192 \]

\[ P(X \le 5) = 1 - 0.8^{5} = 1 - 0.32768 = 0.67232 \]

\[ P(X > 5) = 0.8^{5} = 0.32768, \qquad E(X) = \frac{1}{0.2} = 5, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{0.8}{0.2^{2}} = 20 \]

Wynik: prawdopodobieństwo, że pierwsza sprzedaż wypadnie dokładnie przy piątym połączeniu, wynosi około 0,0819 (8,19%). Szansa na co najmniej jedną sprzedaż w ciągu pierwszych 5 połączeń to 0,6723 (67,23%), a czas oczekiwania przekroczy piąte połączenie z prawdopodobieństwem 0,3277 (32,77%). Średnio potrzeba 5 połączeń, a wariancja wynosi 20.

Jak korzystać z kalkulatora

Wpisz Prawdopodobieństwo sukcesu — szansę na sukces w pojedynczej próbie, jako liczbę z przedziału od 0 do 1 (np. 0,2 dla 20%).
Wpisz Numer próby — próbę \(k\), w której ma nastąpić pierwszy sukces; musi to być liczba całkowita równa co najmniej 1.
Odczytaj wyniki: \(P(X = k)\) (pierwszy sukces dokładnie w próbie \(k\)), \(P(X \le k)\) (sukces w próbie \(k\) lub wcześniej), \(P(X > k)\) (nadal czekasz po próbie \(k\)), a także średnią \(E(X)\) i wariancję \(\mathrm{Var}(X)\).
Zajrzyj do bloku z interpretacją — znajdziesz tam podsumowanie w przystępnym języku, łącznie z medianą czasu oczekiwania i własnością braku pamięci.

Czym jest rozkład geometryczny?

Rozkład geometryczny opisuje, ile niezależnych prób trzeba wykonać, aby uzyskać pierwszy sukces, gdy każda próba ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu \(p\). Odpowiada na pytania takie jak: ile rzutów monetą do pierwszego orła, ile połączeń do pierwszej sprzedaży albo ile części trzeba sprawdzić, zanim trafimy na pierwszą wadliwą? Zmienna losowa \(X\) liczy próbę, w której następuje pierwszy sukces, więc jej nośnik to \(k = 1, 2, 3, \ldots\).

Prawdopodobieństwa maleją geometrycznie — stąd nazwa. Najbardziej prawdopodobnym wynikiem jest zawsze \(k = 1\) z prawdopodobieństwem \(p\), a każda kolejna próba jest \(1 - p\) razy mniej prawdopodobna od poprzedniej. Nie znaczy to, że późniejsze próby stają się „gorsze” — odzwierciedla to jedynie malejącą szansę na przetrwanie tak wielu porażek pod rząd.

Średnia \(E(X) = 1/p\) daje oczekiwany czas: 20-procentowa szansa na sukces oznacza średnio około 5 prób. Wariancja \((1-p)/p^2\) szybko rośnie, gdy \(p\) maleje, więc zdarzenia o małym prawdopodobieństwie mogą oznaczać długie i bardzo zmienne oczekiwanie. Najbardziej praktyczną wielkością bywa wartość skumulowana \(P(X \le k)\) — na przykład prawdopodobieństwo dostania co najmniej jednego zaproszenia na rozmowę o pracę po \(k\) wysłanych aplikacjach.

Słynną własnością tego rozkładu jest brak pamięci: niezależnie od tego, ile porażek już zniosłeś, prawdopodobieństwo, że kolejna próba zakończy się sukcesem, nadal wynosi dokładnie \(p\). Przeszłe porażki nie niosą żadnej informacji o przyszłości — fakt przydatny, ale czasem sprzeczny z intuicją przy interpretowaniu serii wyników.

Założenia, ograniczenia i wskazówki

Niezależność: wynik jednej próby nie może wpływać na pozostałe. Karty wyciągane bez zwracania łamią ten warunek — użyj wtedy kalkulatora rozkładu hipergeometrycznego.
Stałe p: prawdopodobieństwo sukcesu musi być takie samo w każdej próbie. Jeśli zmienia się w czasie, model geometryczny przestaje obowiązywać.
Tylko pierwszy sukces: ten kalkulator modeluje czas oczekiwania na pierwszy sukces. Jeśli chodzi o prawdopodobieństwo ustalonej liczby sukcesów w ustalonej liczbie prób, skorzystaj z kalkulatora rozkładu dwumianowego; dla czasu oczekiwania do \(r\)-tego sukcesu użyj kalkulatora rozkładu ujemnego dwumianowego.
Konwencja liczenia: ta strona stosuje standardową konwencję, w której \(X\) liczy próbę pierwszego sukcesu (\(k = 1, 2, \ldots\)). Niektóre podręczniki zamiast tego liczą liczbę porażek przed pierwszym sukcesem (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)), co przesuwa wszystkie wyniki o jeden.
Odpowiednik ciągły: jeśli mierzysz czas oczekiwania w sposób ciągły (np. minuty do zdarzenia), a nie liczysz prób, właściwym narzędziem jest kalkulator rozkładu wykładniczego.

Ściągawka — najważniejsze wartości

Dla prawdopodobieństwa sukcesu \(p\) warto znać kilka przydatnych faktów:

Wielkość	Wzór	Przykład (p = 0,2)
Najbardziej prawdopodobna próba (dominanta)	zawsze 1	1
Średnia liczba prób \(E(X)\)	\(1/p\)	5 prób
Mediana liczby prób	\(\lceil \ln(0.5)/\ln(1-p) \rceil\)	4 próby
Prawdopodobieństwo oczekiwania dłuższego niż \(k\) prób	\((1-p)^k\)	\(0.8^5 \approx 32.8\%\)

Dzięki brakowi pamięci \(P(X > k + j \mid X > j) = P(X > k)\): po dowolnej serii porażek pozostały czas oczekiwania zachowuje się dokładnie tak, jakby zaczynało się od zera.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć rozkład geometryczny ręcznie?

Przy prawdopodobieństwie sukcesu \(p\) w każdej próbie prawdopodobieństwo, że pierwszy sukces nastąpi dokładnie w próbie \(k\), wynosi \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p\). Oblicz prawdopodobieństwo porażki \(q = 1 - p\), podnieś je do potęgi \(k - 1\) i pomnóż przez \(p\). Na przykład dla \(p = 0.1\) i \(k = 3\): \(0.9^2 \times 0.1 = 0.081\), czyli szansa 8,1%.

Jaka jest dobra, typowa wartość oczekiwanego czasu oczekiwania?

Średni czas oczekiwania to \(E(X) = 1/p\), więc 10-procentowa szansa na sukces oznacza średnio około 10 prób, a 50% — 2 próby. Nie ma „dobrej” wartości — wszystko zależy od Twojego \(p\). Uwaga: przy małym \(p\) średnia bywa myląca, bo wariancja \((1-p)/p^2\) jest wtedy duża, więc rzeczywiste czasy oczekiwania często okazują się znacznie krótsze lub znacznie dłuższe od średniej.

Dlaczego w podręcznikach są dwa różne wzory na rozkład geometryczny?

Istnieją dwie konwencje. Jedna liczy próbę pierwszego sukcesu (nośnik \(k = 1, 2, 3, \ldots\)), z \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) i średnią \(1/p\) — to właśnie jej używa ten kalkulator. Druga liczy liczbę porażek przed pierwszym sukcesem (nośnik \(k = 0, 1, 2, \ldots\)), z \(P(X = k) = (1-p)^k p\) i średnią \((1-p)/p\). Zanim porównasz odpowiedzi, sprawdź, której konwencji używa Twój podręcznik.

Czym różnią się rozkłady geometryczny, dwumianowy i ujemny dwumianowy?

Rozkład geometryczny liczy próby do pierwszego sukcesu. Dwumianowy liczy liczbę sukcesów w ustalonej liczbie prób. Ujemny dwumianowy liczy próby do r-tego sukcesu (geometryczny to jego przypadek szczególny dla \(r = 1\)). Wybór zależy od tego, co liczysz: czas oczekiwania (geometryczny/ujemny dwumianowy) czy liczbę sukcesów (dwumianowy).

Czy mogę podać prawdopodobieństwo sukcesu w procentach, np. 20 zamiast 0,2?

Nie — ten kalkulator oczekuje \(p\) jako liczby dziesiętnej z przedziału od 0 do 1. Wpisz 0,2 dla 20%, 0,05 dla 5% i tak dalej. Jeśli wpiszesz 20, kalkulator odrzuci tę wartość jako spoza zakresu, bo prawdopodobieństwo większe niż 1 jest niemożliwe. Aby zamienić procent na ułamek dziesiętny, podziel go przez 100 albo przesuń przecinek o dwa miejsca w lewo.

Dlaczego próba pierwsza jest zawsze najbardziej prawdopodobnym wynikiem, nawet gdy p jest małe?

Funkcja prawdopodobieństwa maleje ściśle: \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) maleje \(1 - p\) razy przy każdej kolejnej próbie, więc dominanta to zawsze \(k = 1\) z prawdopodobieństwem \(p\). Nie znaczy to, że wczesny sukces jest w sensie bezwzględnym prawdopodobny — przy \(p = 0.01\) najbardziej prawdopodobna pojedyncza próba ma szansę ledwie 1%. Po prostu coraz mniej prawdopodobne staje się przetrwanie wielu porażek z rzędu.

Co się dzieje, gdy p = 1 lub p = 0?

Przy \(p = 1\) sukces jest pewny już w pierwszej próbie: \(P(X = 1) = 1\), średnia 1, wariancja 0. Przy \(p = 0\) sukces nigdy nie następuje, a czas oczekiwania jest nieskończony — średnia \(1/p\) jest nieokreślona, dlatego kalkulator odrzuca \(p = 0\). W praktyce, jeśli Twoje rzeczywiste \(p\) jest dokładnie zerowe, zdarzenie jest niemożliwe i żaden model probabilistyczny nie ma zastosowania.