Калькулятор геометрического распределения
Введите вероятность успеха p и номер испытания k, чтобы получить P(X = k), накопленную вероятность, вероятность «хвоста», а также математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения — времени ожидания до первого успеха.
Вероятность первого успеха в заданном испытании
Формула геометрического распределения
Обозначения:
- \(p\) — вероятность успеха в одном испытании (от 0 до 1)
- \(k\) — номер испытания, на котором происходит первый успех (\(k = 1, 2, 3, \ldots\))
- \(P(X = k)\) — вероятность того, что первый успех случится ровно на испытании \(k\)
- \(E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\) — математическое ожидание и дисперсия числа необходимых испытаний
Геометрическое распределение описывает число независимых одинаковых испытаний, которое нужно провести до первого успеха: сначала \(k-1\) неудач, затем один успех.
Геометрическое распределение — пример расчёта
Пример: менеджер обзванивает потенциальных клиентов, и каждый звонок заканчивается продажей с вероятностью 20%. Какова вероятность, что первая продажа произойдёт ровно на пятом звонке, и каковы шансы добиться успеха к этому моменту или не добиться вовсе?
\[ P(X = 5) = (1 - 0.2)^{5-1} \cdot 0.2 = 0.8^{4} \cdot 0.2 = 0.4096 \cdot 0.2 = 0.08192 \]
\[ P(X \le 5) = 1 - 0.8^{5} = 1 - 0.32768 = 0.67232 \]
\[ P(X > 5) = 0.8^{5} = 0.32768, \qquad E(X) = \frac{1}{0.2} = 5, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{0.8}{0.2^{2}} = 20 \]
Результат: вероятность первой продажи ровно на пятом звонке составляет примерно 0,0819 (8,19%). Вероятность хотя бы одной продажи за первые пять звонков — 0,6723 (67,23%), а вероятность, что ждать придётся дольше пяти звонков, — 0,3277 (32,77%). В среднем требуется 5 звонков, дисперсия равна 20.
Как пользоваться калькулятором
- Введите вероятность успеха — шанс успеха в каждом отдельном испытании в виде числа от 0 до 1 (например, 0,2 для 20%).
- Введите номер испытания — испытание \(k\), на котором должен произойти первый успех; это должно быть целое число, не меньше 1.
- Ознакомьтесь с результатами: \(P(X = k)\) (первый успех ровно на испытании \(k\)), \(P(X \le k)\) (успех не позже испытания \(k\)), \(P(X > k)\) (после испытания \(k\) успеха всё ещё нет), а также математическое ожидание \(E(X)\) и дисперсия \(\mathrm{Var}(X)\).
- Загляните в блок интерпретации: там простыми словами подытожен результат, включая медиану времени ожидания и свойство отсутствия памяти.
Что такое геометрическое распределение?
Геометрическое распределение показывает, сколько независимых испытаний потребуется для получения первого успеха, если каждое из них завершается успехом с одной и той же вероятностью \(p\). Оно отвечает на вопросы вроде: сколько раз нужно подбросить монету до первого орла, сколько звонков сделать до первой продажи или сколько деталей проверить, прежде чем попадётся первая бракованная? Случайная величина \(X\) — это номер испытания, на котором происходит первый успех, поэтому её значения — \(k = 1, 2, 3, \ldots\).
Вероятности убывают по геометрической прогрессии — отсюда и название. Самый вероятный исход всегда один: \(k = 1\) с вероятностью \(p\), а каждое следующее испытание менее вероятно предыдущего в \(1 - p\) раз. Это не значит, что последующие испытания становятся «хуже» — просто всё меньше шансов потерпеть подряд столько неудач.
Математическое ожидание \(E(X) = 1/p\) даёт среднее время ожидания: при вероятности успеха 20% в среднем потребуется около 5 испытаний. Дисперсия \((1-p)/p^2\) быстро растёт при малых \(p\), поэтому редкие события могут обернуться долгим и крайне непредсказуемым ожиданием. Накопленная вероятность \(P(X \le k)\) — часто самый полезный результат: например, вероятность получить хотя бы одно приглашение на собеседование, разослав \(k\) резюме.
Знаменитое свойство этого распределения — отсутствие памяти: сколько бы неудач вы уже ни пережили, вероятность успеха в следующем испытании по-прежнему равна ровно \(p\). Прошлые неудачи не несут никакой информации о будущем — факт полезный, но порой противоречащий интуиции, когда речь заходит о «сериях».
Допущения, ограничения и советы
- Независимость: результат одного испытания не должен влиять на остальные. Карты, вынимаемые без возврата, этому условию не удовлетворяют — воспользуйтесь калькулятором гипергеометрического распределения.
- Постоянство p: вероятность успеха должна быть одинаковой во всех испытаниях. Если она меняется со временем, геометрическая модель перестаёт работать.
- Только первый успех: этот калькулятор моделирует ожидание до первого успеха. Если нужна вероятность заданного числа успехов в заданном числе испытаний, см. калькулятор биномиального распределения; для ожидания до \(r\)-го успеха — калькулятор отрицательного биномиального распределения.
- Способ подсчёта: на этой странице используется стандартное соглашение, при котором \(X\) — номер испытания с первым успехом (\(k = 1, 2, \ldots\)). В некоторых учебниках вместо этого считают число неудач до первого успеха (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)) — все результаты при этом сдвигаются на единицу.
- Непрерывный аналог: если время ожидания измеряется непрерывно (например, в минутах до события), а не в числе испытаний, вам подойдёт калькулятор экспоненциального распределения.
Полезные справочные значения
Для вероятности успеха \(p\) пригодятся такие факты:
| Величина | Формула | Пример (p = 0,2) |
|---|---|---|
| Наиболее вероятное испытание (мода) | всегда 1 | 1 |
| Среднее время ожидания \(E(X)\) | \(1/p\) | 5 испытаний |
| Медиана времени ожидания | \(\lceil \ln(0.5)/\ln(1-p) \rceil\) | 4 испытания |
| Вероятность ждать дольше \(k\) испытаний | \((1-p)^k\) | \(0.8^5 \approx 32.8\%\) |
Благодаря отсутствию памяти \(P(X > k + j \mid X > j) = P(X > k)\): после любой серии неудач оставшееся время ожидания ведёт себя точно так же, как если бы всё началось заново.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить геометрическое распределение вручную?
При вероятности успеха \(p\) в каждом испытании вероятность того, что первый успех произойдёт ровно на испытании \(k\), равна \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p\). Найдите вероятность неудачи \(q = 1 - p\), возведите её в степень \(k - 1\) и умножьте на \(p\). Например, при \(p = 0.1\) и \(k = 3\): \(0.9^2 \times 0.1 = 0.081\), то есть шанс 8,1%.
Какое значение среднего времени ожидания считается «хорошим» или типичным?
Среднее время ожидания равно \(E(X) = 1/p\): при вероятности успеха 10% в среднем нужно около 10 испытаний, при 50% — 2 испытания. «Хорошего» значения не существует — всё определяется вашим \(p\). Учтите, что при малых \(p\) среднее может вводить в заблуждение: дисперсия \((1-p)/p^2\) велика, поэтому реальное ожидание часто оказывается заметно короче или длиннее среднего.
Почему в учебниках у геометрического распределения две разные формулы?
Существуют два соглашения. Первое считает номер испытания с первым успехом (значения \(k = 1, 2, 3, \ldots\)), при этом \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\), а среднее равно \(1/p\) — именно его использует этот калькулятор. Второе считает число неудач до первого успеха (значения \(k = 0, 1, 2, \ldots\)), при этом \(P(X = k) = (1-p)^k p\), а среднее равно \((1-p)/p\). Прежде чем сравнивать ответы, уточните, какое соглашение принято в вашем учебнике.
Чем геометрическое распределение отличается от биномиального и отрицательного биномиального?
Геометрическое распределение считает число испытаний до первого успеха. Биномиальное — число успехов в фиксированном числе испытаний. Отрицательное биномиальное — число испытаний до r-го успеха (геометрическое — его частный случай при \(r = 1\)). Выбирайте по тому, что вы считаете: время ожидания (геометрическое или отрицательное биномиальное) либо число успехов (биномиальное).
Можно ли ввести вероятность успеха в процентах, например 20 вместо 0,2?
Нет — калькулятор ожидает \(p\) в виде десятичной дроби от 0 до 1. Вводите 0,2 для 20%, 0,05 для 5% и так далее. Если ввести 20, калькулятор сообщит, что значение выходит за допустимый диапазон: вероятность больше 1 невозможна. Чтобы перевести проценты в дробь, разделите на 100 или перенесите запятую на два знака влево.
Почему первое испытание — всегда самый вероятный исход, даже когда p мало?
Ряд распределения строго убывает: \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) с каждым следующим испытанием уменьшается в \(1 - p\) раз, поэтому мода всегда равна \(k = 1\) с вероятностью \(p\). Это не значит, что ранний успех вероятен в абсолютных величинах: при \(p = 0.01\) даже самое вероятное отдельное испытание даёт лишь 1% шанса. Просто пережить много подряд неудач становится всё менее вероятно.
Что будет при p = 1 или p = 0?
При \(p = 1\) успех гарантирован в первом испытании: \(P(X = 1) = 1\), среднее равно 1, дисперсия 0. При \(p = 0\) успех не наступит никогда, и ожидание бесконечно — среднее \(1/p\) не определено, поэтому калькулятор не принимает \(p = 0\). Если в реальной задаче \(p\) в точности равно нулю, событие невозможно, и никакая вероятностная модель тут неприменима.