Calculadora da distribuição geométrica

Q: Como calcular a distribuição geométrica à mão?

Para uma probabilidade de sucesso p em cada tentativa, a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa k é P(X = k) = (1 - p)^k-1 p. Calcule a probabilidade de falha q = 1 - p, eleve à potência k - 1 e multiplique por p. Por exemplo, com p = 0.1 e k = 3: 0.9^2 × 0.1 = 0.081, uma chance de 8,1%.

Q: Qual é um valor "bom" ou típico para a espera esperada?

A espera média é E(X) = 1/p, então uma chance de sucesso de 10% significa cerca de 10 tentativas em média, e uma chance de 50% significa 2 tentativas. Não existe um valor "bom" — tudo depende do seu p. Vale lembrar que a média pode enganar quando p é pequeno: a variância (1-p)/p^2 é grande, então as esperas reais costumam ser muito mais curtas ou muito mais longas que a média.

Q: Por que a distribuição geométrica tem duas fórmulas diferentes nos livros didáticos?

Existem duas convenções. Uma conta a tentativa do primeiro sucesso (suporte k = 1, 2, 3, ldots), com P(X = k) = (1-p)^k-1p e média 1/p — é a que esta calculadora usa. A outra conta o número de falhas antes do primeiro sucesso (suporte k = 0, 1, 2, ldots), com P(X = k) = (1-p)^k p e média (1-p)/p. Verifique qual convenção seu livro adota antes de comparar respostas.

Q: Qual é a diferença entre as distribuições geométrica, binomial e binomial negativa?

A distribuição geométrica conta as tentativas até o primeiro sucesso. A binomial conta o número de sucessos em um número fixo de tentativas. A binomial negativa conta as tentativas até o r-ésimo sucesso (a geométrica é o caso especial dela com r = 1). Escolha com base no que você está contando: tempo de espera (geométrica/binomial negativa) ou quantidade de sucessos (binomial).

Q: Posso informar a probabilidade de sucesso como uma porcentagem, como 20 em vez de 0,2?

Não — esta calculadora espera p como um número decimal entre 0 e 1. Informe 0,2 para 20%, 0,05 para 5% e assim por diante. Se você digitar 20, a calculadora vai rejeitá-lo como fora do intervalo, já que uma probabilidade acima de 1 é impossível. Para converter uma porcentagem, divida por 100 ou desloque a vírgula duas casas para a esquerda.

Q: Por que a tentativa 1 é sempre o resultado mais provável, mesmo quando p é pequeno?

A função de probabilidade decresce de forma estrita: P(X = k) = (1-p)^k-1p diminui pelo fator 1 - p a cada tentativa seguinte, então a moda é sempre k = 1, com probabilidade p. Isso não significa que o sucesso precoce seja provável em termos absolutos — com p = 0.01, a tentativa mais provável ainda tem apenas 1% de chance. O que acontece é simplesmente que sobreviver a muitas falhas consecutivas se torna cada vez menos provável.

Q: O que acontece se p = 1 ou p = 0?

Com p = 1, o sucesso é certo na primeira tentativa: P(X = 1) = 1, média 1 e variância 0. Com p = 0, o sucesso nunca ocorre e a espera é infinita — a média 1/p fica indefinida, por isso esta calculadora rejeita p = 0. Na prática, se o seu p real é exatamente zero, o evento é impossível e nenhum modelo probabilístico se aplica.

Atualizado: 8 outubro 2026

Informe a probabilidade de sucesso p e o número da tentativa k para obter P(X = k), a probabilidade acumulada, a probabilidade da cauda, a média e a variância da distribuição geométrica — o tempo de espera até o primeiro sucesso.

Probabilidade do primeiro sucesso em uma determinada tentativa

Fórmula da distribuição geométrica

Fórmula

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}\, p \] \[ P(X \le k) = 1 - (1 - p)^{k}, \qquad P(X > k) = (1 - p)^{k} \] \[ E(X) = \frac{1}{p}, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^{2}} \]

Onde:

\(p\) — probabilidade de sucesso em uma única tentativa (entre 0 e 1)
\(k\) — o número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso (\(k = 1, 2, 3, \ldots\))
\(P(X = k)\) — probabilidade de o primeiro sucesso acontecer exatamente na tentativa \(k\)
\(E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\) — média e variância do número de tentativas necessárias

A distribuição geométrica modela quantas tentativas independentes e idênticas são necessárias até o primeiro sucesso: você falha \(k-1\) vezes e depois obtém um sucesso.

Distribuição geométrica – Exemplo de cálculo

Exemplo: um vendedor liga para clientes potenciais, e cada ligação tem 20% de chance de resultar em uma venda. Qual é a probabilidade de a primeira venda acontecer exatamente na 5ª ligação, e quais são as chances de conseguir vender até lá ou não conseguir de jeito nenhum?

\[ P(X = 5) = (1 - 0.2)^{5-1} \cdot 0.2 = 0.8^{4} \cdot 0.2 = 0.4096 \cdot 0.2 = 0.08192 \]

\[ P(X \le 5) = 1 - 0.8^{5} = 1 - 0.32768 = 0.67232 \]

\[ P(X > 5) = 0.8^{5} = 0.32768, \qquad E(X) = \frac{1}{0.2} = 5, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{0.8}{0.2^{2}} = 20 \]

Resultado: a probabilidade de a primeira venda sair exatamente na 5ª ligação é de cerca de 0,0819 (8,19%). A probabilidade de pelo menos uma venda nas primeiras 5 ligações é de 0,6723 (67,23%), enquanto a espera ultrapassa a 5ª ligação com probabilidade de 0,3277 (32,77%). Em média, são necessárias 5 ligações, com variância de 20.

Como usar a calculadora

Informe a Probabilidade de sucesso — a chance de sucesso em cada tentativa, como um número entre 0 e 1 (por exemplo, 0,2 para 20%).
Informe o Número da tentativa — a tentativa \(k\) em que você quer que ocorra o primeiro sucesso; deve ser um número inteiro maior ou igual a 1.
Leia os resultados: \(P(X = k)\) (primeiro sucesso exatamente na tentativa \(k\)), \(P(X \le k)\) (sucesso na tentativa \(k\) ou antes), \(P(X > k)\) (ainda esperando depois da tentativa \(k\)), além da média \(E(X)\) e da variância \(\mathrm{Var}(X)\).
Confira o bloco de interpretação para um resumo em linguagem simples, incluindo a mediana da espera e a propriedade de ausência de memória.

O que é a distribuição geométrica?

A distribuição geométrica descreve quantas tentativas independentes são necessárias para obter o primeiro sucesso, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade \(p\) de dar certo. Ela responde a perguntas como: quantas jogadas de moeda até a primeira cara, quantas ligações até a primeira venda ou quantas peças precisamos inspecionar até encontrar a primeira defeituosa? A variável aleatória \(X\) conta a tentativa em que ocorre o primeiro sucesso, então seu suporte é \(k = 1, 2, 3, \ldots\).

As probabilidades decaem geometricamente — daí o nome. O resultado mais provável é sempre \(k = 1\), com probabilidade \(p\), e cada tentativa seguinte é menos provável que a anterior pelo fator \(1 - p\). Isso não significa que as tentativas posteriores fiquem "piores"; o que acontece é que a probabilidade de acumular tantas falhas seguidas vai diminuindo.

A média \(E(X) = 1/p\) dá a espera esperada: uma chance de sucesso de 20% significa cerca de 5 tentativas em média. A variância \((1-p)/p^2\) cresce rapidamente quando \(p\) é pequeno, de modo que eventos de baixa probabilidade podem envolver esperas longas e bastante variáveis. O valor acumulado \(P(X \le k)\) costuma ser o resultado mais prático — por exemplo, a probabilidade de conseguir pelo menos uma entrevista de emprego em \(k\) candidaturas.

Uma propriedade famosa dessa distribuição é a ausência de memória: não importa quantas falhas você já acumulou, a probabilidade de a próxima tentativa dar certo continua sendo exatamente \(p\). As falhas passadas não trazem nenhuma informação sobre o futuro — um fato útil, mas às vezes contraintuitivo, na hora de interpretar sequências de resultados.

Premissas, limitações e dicas

Independência: o resultado de uma tentativa não pode afetar as demais. Cartas retiradas sem reposição violam essa condição — nesse caso, use a Calculadora da distribuição hipergeométrica.
p constante: a probabilidade de sucesso precisa ser a mesma em todas as tentativas. Se ela muda ao longo do tempo, o modelo geométrico deixa de valer.
Apenas o primeiro sucesso: esta calculadora modela a espera até o primeiro sucesso. Para a probabilidade de um número fixo de sucessos em um número fixo de tentativas, consulte a Calculadora da distribuição binomial; para a espera até o \(r\)-ésimo sucesso, use a Calculadora da distribuição binomial negativa.
Convenção de contagem: esta página adota a convenção padrão em que \(X\) conta a tentativa do primeiro sucesso (\(k = 1, 2, \ldots\)). Alguns livros didáticos, em vez disso, contam o número de falhas antes do primeiro sucesso (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)), o que desloca todos os resultados em uma unidade.
Análogo contínuo: se você está medindo o tempo de espera de forma contínua (por exemplo, minutos até um evento) em vez de contar tentativas, a ferramenta certa é a Calculadora da distribuição exponencial.

Valores de referência rápida

Para uma probabilidade de sucesso \(p\), alguns dados úteis:

Grandeza	Fórmula	Exemplo (p = 0,2)
Tentativa mais provável (moda)	sempre 1	1
Espera média \(E(X)\)	\(1/p\)	5 tentativas
Espera mediana	\(\lceil \ln(0.5)/\ln(1-p) \rceil\)	4 tentativas
Probabilidade de esperar mais de \(k\) tentativas	\((1-p)^k\)	\(0.8^5 \approx 32.8\%\)

Graças à ausência de memória, \(P(X > k + j \mid X > j) = P(X > k)\): após qualquer sequência de falhas, a espera restante se comporta exatamente como um recomeço do zero.

Perguntas frequentes

Como calcular a distribuição geométrica à mão?

Para uma probabilidade de sucesso \(p\) em cada tentativa, a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa \(k\) é \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p\). Calcule a probabilidade de falha \(q = 1 - p\), eleve à potência \(k - 1\) e multiplique por \(p\). Por exemplo, com \(p = 0.1\) e \(k = 3\): \(0.9^2 \times 0.1 = 0.081\), uma chance de 8,1%.

Qual é um valor "bom" ou típico para a espera esperada?

A espera média é \(E(X) = 1/p\), então uma chance de sucesso de 10% significa cerca de 10 tentativas em média, e uma chance de 50% significa 2 tentativas. Não existe um valor "bom" — tudo depende do seu \(p\). Vale lembrar que a média pode enganar quando \(p\) é pequeno: a variância \((1-p)/p^2\) é grande, então as esperas reais costumam ser muito mais curtas ou muito mais longas que a média.

Por que a distribuição geométrica tem duas fórmulas diferentes nos livros didáticos?

Existem duas convenções. Uma conta a tentativa do primeiro sucesso (suporte \(k = 1, 2, 3, \ldots\)), com \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) e média \(1/p\) — é a que esta calculadora usa. A outra conta o número de falhas antes do primeiro sucesso (suporte \(k = 0, 1, 2, \ldots\)), com \(P(X = k) = (1-p)^k p\) e média \((1-p)/p\). Verifique qual convenção seu livro adota antes de comparar respostas.

Qual é a diferença entre as distribuições geométrica, binomial e binomial negativa?

A distribuição geométrica conta as tentativas até o primeiro sucesso. A binomial conta o número de sucessos em um número fixo de tentativas. A binomial negativa conta as tentativas até o r-ésimo sucesso (a geométrica é o caso especial dela com \(r = 1\)). Escolha com base no que você está contando: tempo de espera (geométrica/binomial negativa) ou quantidade de sucessos (binomial).

Posso informar a probabilidade de sucesso como uma porcentagem, como 20 em vez de 0,2?

Não — esta calculadora espera \(p\) como um número decimal entre 0 e 1. Informe 0,2 para 20%, 0,05 para 5% e assim por diante. Se você digitar 20, a calculadora vai rejeitá-lo como fora do intervalo, já que uma probabilidade acima de 1 é impossível. Para converter uma porcentagem, divida por 100 ou desloque a vírgula duas casas para a esquerda.

Por que a tentativa 1 é sempre o resultado mais provável, mesmo quando p é pequeno?

A função de probabilidade decresce de forma estrita: \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) diminui pelo fator \(1 - p\) a cada tentativa seguinte, então a moda é sempre \(k = 1\), com probabilidade \(p\). Isso não significa que o sucesso precoce seja provável em termos absolutos — com \(p = 0.01\), a tentativa mais provável ainda tem apenas 1% de chance. O que acontece é simplesmente que sobreviver a muitas falhas consecutivas se torna cada vez menos provável.

O que acontece se p = 1 ou p = 0?

Com \(p = 1\), o sucesso é certo na primeira tentativa: \(P(X = 1) = 1\), média 1 e variância 0. Com \(p = 0\), o sucesso nunca ocorre e a espera é infinita — a média \(1/p\) fica indefinida, por isso esta calculadora rejeita \(p = 0\). Na prática, se o seu \(p\) real é exatamente zero, o evento é impossível e nenhum modelo probabilístico se aplica.