Kreuzprodukt-Rechner für 3D-Vektoren
Geben Sie die X-, Y- und Z-Komponenten zweier Vektoren ein und erhalten Sie sofort deren Kreuzprodukt. Der Rechner zeigt den Ergebnisvektor, dessen Betrag und die komplette Rechnung Schritt für Schritt.
Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen
Formel für das 3D-Kreuzprodukt
Dabei bedeuten:
- \(A_x, A_y, A_z\) – Komponenten des ersten Vektors \(\mathbf{A}\)
- \(B_x, B_y, B_z\) – Komponenten des zweiten Vektors \(\mathbf{B}\)
- \(C_x, C_y, C_z\) – Komponenten des Kreuzprodukts \(\mathbf{C}\)
- \(|\mathbf{C}|\) – Betrag (Länge) des Kreuzprodukt-Vektors
Das Kreuzprodukt \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) ergibt einen neuen Vektor, der sowohl auf \(\mathbf{A}\) als auch auf \(\mathbf{B}\) senkrecht steht; sein Betrag entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen.
3D-Kreuzprodukt – Rechenbeispiel
Beispiel: Gesucht ist das Kreuzprodukt von \(\mathbf{A} = (2, 3, 4)\) und \(\mathbf{B} = (5, 6, 7)\).
\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 3 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 21 - 24 = -3 \]
\[ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 4 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 20 - 14 = 6 \]
\[ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 \]
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7.348 \]
Ergebnis: \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3,\ 6,\ -3)\) mit dem Betrag \(\approx 7.348\).
So benutzen Sie den Kreuzprodukt-Rechner für 3D-Vektoren
- Geben Sie die drei Komponenten des ersten Vektors in die Felder A – X-Komponente, A – Y-Komponente und A – Z-Komponente ein.
- Geben Sie die drei Komponenten des zweiten Vektors in die Felder B – X-Komponente, B – Y-Komponente und B – Z-Komponente ein.
- Negative Werte und Nullen sind erlaubt – tippen Sie das Minuszeichen einfach dort ein, wo es gebraucht wird.
- Das Ergebnis erscheint unter Ihr Kreuzprodukt: die X-, Y- und Z-Komponenten des Ergebnisvektors, dessen Betrag und eine Schritt-für-Schritt-Darstellung der gesamten Rechnung.
Was ist das Kreuzprodukt?
Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) ist eine Verknüpfung zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum. Anders als das Skalarprodukt, das eine einzelne Zahl liefert, ergibt das Kreuzprodukt einen Vektor. Seine Richtung steht senkrecht auf der Ebene, in der beide Ausgangsvektoren liegen, und wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt: Zeigen Sie mit den Fingern der rechten Hand entlang von \(\mathbf{A}\) und krümmen Sie sie in Richtung \(\mathbf{B}\), dann zeigt Ihr Daumen in Richtung \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
Die Reihenfolge der Vektoren spielt eine Rolle: Werden sie vertauscht, kehrt sich das Vorzeichen jeder Komponente um: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\). Diese Eigenschaft heißt Antikommutativität. Das Kreuzprodukt ist also nicht kommutativ – bei vertauschter Eingabereihenfolge kommt ein anderes Ergebnis heraus.
Der Betrag des Kreuzprodukts hat eine geometrische Bedeutung:
\[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}| \sin\theta \]
wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Der Betrag entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) aufgespannt wird. Lautet das Ergebnis der Nullvektor, sind die beiden Vektoren parallel (oder einer von ihnen ist null), denn \(\sin 0° = 0\). Je größer der Winkel zwischen den Vektoren, desto größer das Kreuzprodukt – sein Maximum erreicht es, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Kreuzprodukte tauchen überall in Physik und Technik auf: Das Drehmoment ist \(\mathbf{r} \times \mathbf{F}\), die magnetische Kraft enthält \(\mathbf{v} \times \mathbf{B}\), und der Drehimpuls ist \(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\). In der Computergrafik berechnet man mit Kreuzprodukten Flächennormalen für Beleuchtung und Schattierung.
Voraussetzungen, Grenzen und praktische Hinweise
- Nur drei Dimensionen. Das Kreuzprodukt ist nur für 3D-Vektoren definiert (für 2D-Vektoren gibt es eine eingeschränkte Variante, die einen Skalar liefert). Dieser Rechner benötigt alle drei Komponenten jedes Vektors.
- Die Reihenfolge zählt. Weicht Ihr Ergebnis im Vorzeichen von der Musterlösung ab, prüfen Sie, ob dort \(\mathbf{B} \times \mathbf{A}\) statt \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) berechnet wurde.
- Senkrecht-Test. So prüfen Sie das Ergebnis schnell: Die Skalarprodukte \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}\) und \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\) müssen beide null sein, denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf beiden Eingangsvektoren.
- Parallele Vektoren. Lautet das Ergebnis der Nullvektor \((0, 0, 0)\), sind die Eingaben parallel, oder einer der Vektoren ist null – das ist ein gültiges Ergebnis, kein Fehler.
- Einheiten. Die Komponenten sollten in einheitlichen Einheiten angegeben sein. Steht \(\mathbf{A}\) in Metern und \(\mathbf{B}\) in Newton, so steht das Kreuzprodukt in Newtonmetern (N·m), der Einheit des Drehmoments.
Wenn Sie die Grundrechenarten hinter den Komponentenmultiplikationen auffrischen möchten: Der Multiplikationsrechner und der Subtraktionsrechner übernehmen die einzelnen Schritte.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich ein Kreuzprodukt von Hand ohne Rechner?
Entwickeln Sie die 3×3-Determinante nach der ersten Zeile: Bilden Sie für jede Komponente die beiden Produkte und subtrahieren Sie sie voneinander. Ein nützlicher Merktipp für die mittlere Komponente: In der Determinantenentwicklung trägt sie ein negatives Vorzeichen – deshalb stehen bei \(C_y = A_z B_x - A_x B_z\) die Terme in umgekehrter Reihenfolge als bei den beiden anderen. Schreiben Sie jedes Produkt aus, bevor Sie subtrahieren – die meisten Fehler bei der Handrechnung sind einfache Vorzeichen- und Reihenfolgefehler.
Was ist der Unterschied zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren und liefert einen Skalar (eine einzelne Zahl), berechnet als \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |A||B|\cos\theta\). Es misst, wie stark die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Das Kreuzprodukt liefert dagegen einen Vektor, der senkrecht auf beiden Eingangsvektoren steht, mit dem Betrag \(|A||B|\sin\theta\). Skalarprodukt: Gleichrichtung. Kreuzprodukt: Senkrechtstellung und Rotationseffekte wie das Drehmoment.
Warum ist mein Ergebnis das Negative der Lösung aus dem Lehrbuch?
Fast immer, weil die Vektoren vertauscht wurden. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\), also kehrt sich jedes Vorzeichen um. Prüfen Sie, welchen Vektor Ihre Quelle zuerst nennt. Stimmt die Reihenfolge, kontrollieren Sie noch einmal die mittlere Komponente \(C_y\) – bei ihrer Formel werden die Terme am häufigsten in der falschen Reihenfolge notiert.
Kann ich diesen Rechner für 2D-Vektoren verwenden?
Ja – setzen Sie die Z-Komponenten beider Vektoren auf 0. Das Ergebnis zeigt dann immer entlang der Z-Achse: Für \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, 0)\) und \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, 0)\) lautet das Kreuzprodukt \((0, 0, A_x B_y - A_y B_x)\). Dieser skalare Z-Wert ist genau das in der Geometrie verwendete „skalare Kreuzprodukt“ für 2D, und sein Betrag entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Wie finde ich mit dem Kreuzprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Berechnen Sie \(\sin\theta = |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| / (|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|)\), wobei der Zähler der Betrag ist, den dieser Rechner anzeigt, und \(|\mathbf{A}|\), \(|\mathbf{B}|\) die Längen der Eingangsvektoren sind. Dann gilt \(\theta = \arcsin(\sin\theta)\). Beachten Sie die Einschränkung: Das Kreuzprodukt allein kann \(\theta\) nicht von \(180° - \theta\) unterscheiden. Für einen eindeutigen Winkel zwischen 0° und 180° kombinieren Sie es mit dem Skalarprodukt oder nutzen Sie die atan2-Methode.
Wie erhalte ich aus dem Kreuzprodukt die Fläche eines Dreiecks?
Der Betrag \(|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\) entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Ein Dreieck ist genau die Hälfte dieses Parallelogramms, seine Fläche beträgt also \(\frac{1}{2}|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\). Für ein Dreieck mit den Eckpunkten \(P\), \(Q\), \(R\) setzen Sie \(\mathbf{A} = Q - P\) und \(\mathbf{B} = R - P\) und halbieren dann den Betrag aus diesem Rechner.
Funktioniert der Rechner mit Dezimalzahlen und Brüchen?
Ja, alle Eingabefelder akzeptieren Dezimalzahlen, auch negative Werte und Nullen – geben Sie das Minuszeichen einfach direkt ein. Die Ergebnisse werden mit bis zu drei Nachkommastellen angezeigt. Wenn Sie exakte Brüche benötigen, wandeln Sie diese vorher in Dezimalzahlen um (z. B. \(\frac{1}{3} \approx 0.333\)) – beachten Sie aber, dass das Runden der Eingaben das exakte Ergebnis leicht verändert. Behalten Sie also genug Nachkommastellen für die benötigte Genauigkeit.