Barwert-Rechner für die wachsende ewige Rente
Berechnen Sie den Barwert einer wachsenden ewigen Rente — eines unbegrenzten Stroms von Zahlungen, der jährlich mit einer konstanten Rate wächst. Geben Sie die erste Zahlung, den Abzinsungssatz und die Wachstumsrate ein und erhalten Sie den Barwert sofort.
Barwert-Schätzer für die wachsende ewige Rente
Formel für den Barwert einer wachsenden ewigen Rente
Wobei:
- \(PV\) — Barwert der wachsenden ewigen Rente
- \(C\) — Cashflow (Zahlung) in der ersten Periode
- \(r\) — jährlicher Abzinsungs- bzw. Zinssatz als Dezimalzahl
- \(g\) — jährliche Wachstumsrate des Cashflows als Dezimalzahl
Diese Formel liefert den heutigen Wert eines Zahlungsstroms, der unbegrenzt fortgeführt wird, wobei jede Zahlung um den Faktor \((1 + g)\) größer ist als die vorherige. Sie funktioniert nur, wenn der Abzinsungssatz die Wachstumsrate übersteigt \((r > g)\); andernfalls konvergiert die Reihe nicht.
Wachsende ewige Rente – Rechenbeispiel
Beispiel: Eine Investition zahlt am Ende des ersten Jahres 1.000 $, und die Zahlung wächst danach jedes Jahr um 3 %. Wie viel ist der Zahlungsstrom bei einem Abzinsungssatz von 8 % heute wert?
\[ PV = \frac{C}{r - g} = \frac{1000}{0.08 - 0.03} \]
\[ PV = \frac{1000}{0.05} = 20000 \]
Ergebnis: Der Barwert der wachsenden ewigen Rente beträgt 20.000 $.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die jährliche Zahlung ein — den Cashflow, den Sie am Ende der ersten Periode erwarten (z. B. 1.000 $).
- Geben Sie den jährlichen Zinssatz als Prozentsatz ein — den Abzinsungssatz, der den Zeitwert des Geldes und das Risiko der Cashflows widerspiegelt (z. B. 8 %).
- Geben Sie die jährliche Wachstumsrate als Prozentsatz ein — die konstante Rate, mit der die Zahlung jedes Jahr steigt (z. B. 3 %).
- Lesen Sie den Barwert (PV) ab — den Wert des gesamten unbegrenzten Zahlungsstroms in heutigen Dollar.
Beachten Sie, dass die Wachstumsrate niedriger sein muss als der Zinssatz. Wenn \(g \geq r\), zeigt der Rechner einen Fehler an, weil der Barwert unendlich oder undefiniert wäre.
Was ist eine wachsende ewige Rente?
Eine wachsende ewige Rente ist eine Reihe von Cashflows, die nie endet und jede Periode mit einer konstanten Rate wächst. Die erste Zahlung \(C\) erfolgt am Ende der Periode 1; die zweite beträgt \(C(1+g)\), die dritte \(C(1+g)^2\) und so weiter — für immer. Obwohl die Zahlungen unbegrenzt fortlaufen, ist ihr Barwert endlich, solange der Abzinsungssatz höher ist als die Wachstumsrate, denn jede Zahlung wird durch die Abzinsung stärker verkleinert, als sie durch das Wachstum vergrößert wird.
Dieses Konzept ist einer der Grundpfeiler der Finanzwelt. Es bildet die Grundlage des Gordon-Growth-Modells, mit dem Aktien mit stetig steigenden Dividenden bewertet werden, des Endwerts in einer Discounted-Cashflow-Analyse (DCF) sowie der Bewertung von Immobilien, Vorzugsaktien und Stiftungen, von denen erwartet wird, dass sie weit in die Zukunft Einkommen erzeugen.
Wie Sie das Ergebnis interpretieren, hängt von Ihren Eingaben ab. Ein höherer Abzinsungssatz — der ein größeres Risiko oder höhere Opportunitätskosten widerspiegelt — senkt den Barwert, während eine höhere Wachstumsrate ihn erhöht. Kleine Änderungen bei einer der Eingaben können das Ergebnis stark verschieben, weil der Nenner \((r - g)\) häufig eine kleine Zahl ist. Steigt beispielsweise bei 1.000 $ mit 3 % Wachstum der Abzinsungssatz von 8 % auf 9 %, sinkt der Wert von 20.000 $ auf 16.666,67 $.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Konstantes Wachstum für immer: Die Formel geht davon aus, dass die Zahlung unbegrenzt jedes Jahr genau um \(g\) wächst. In der Praxis ändern sich Wachstumsraten im Laufe der Zeit, daher ist das Ergebnis nur so zuverlässig wie diese Annahme.
- Zeitpunkt: Es wird angenommen, dass die erste Zahlung eine volle Periode ab heute erfolgt. Fällt Ihre erste Zahlung sofort an (eine vorschüssige Rente), multiplizieren Sie das Ergebnis mit \((1 + r)\).
- r muss größer als g sein: Wenn die Wachstumsrate dem Abzinsungssatz entspricht oder ihn übersteigt, hat der Zahlungsstrom keinen endlichen Barwert und die Berechnung scheitert.
- Sensitivität: Da \(PV = C / (r - g)\), reagiert das Ergebnis sehr empfindlich auf die Differenz \((r - g)\). Testen Sie eine Spanne realistischer Sätze, bevor Sie sich auf eine einzige Zahl verlassen.
- Einsatz in DCF-Modellen: Bei der Bewertung eines Unternehmens wird die wachsende ewige Rente in der Regel nur auf die Cashflows nach einem expliziten Prognosezeitraum angewendet, mit einer konservativen langfristigen Wachstumsrate (oft nahe der Inflation oder dem BIP-Wachstum).
Wenn Sie einen Zahlungsstrom bewerten möchten, der nach einer festen Anzahl von Jahren endet, verwenden Sie stattdessen den Barwert-Rechner für Renten. Um einen einzelnen zukünftigen Betrag auf heute abzuzinsen, nutzen Sie den Barwert-Rechner für zukünftige Werte; um die Gesamtrendite einer Investition zu beurteilen, probieren Sie den ROI-Rechner aus. Für längere Planungshorizonte kann der Altersvorsorge-Planer Ihnen helfen, über die Zeit wachsende Ersparnisse zu modellieren.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich den Barwert einer wachsenden ewigen Rente von Hand?
Ziehen Sie die Wachstumsrate vom Abzinsungssatz ab und dividieren Sie dann die erste Zahlung durch diese Differenz: \(PV = \frac{C}{r - g}\). Beispiel: Bei einer ersten Zahlung von 2.000 $, einem Abzinsungssatz von 10 % und einem Wachstum von 4 % ergibt sich \(2000 / (0.10 - 0.04) = 33.333,33\). Denken Sie daran, beide Sätze vor dem Subtrahieren als Dezimalzahlen und nicht als Prozentsätze anzugeben.
Was ist ein guter oder typischer Abzinsungssatz?
Es gibt keinen universell „guten“ Satz — er sollte das Risiko der Cashflows und Ihre Opportunitätskosten des Kapitals widerspiegeln. Übliche Wahlmöglichkeiten reichen von Staatsanleihenrenditen für sehr sichere Zahlungsströme bis zu 8–12 % für riskante Unternehmens-Cashflows. Da das Ergebnis stark von der kleinen Differenz \(r - g\) abhängt, testen Sie immer eine Spanne von Sätzen, statt einer einzelnen Zahl zu vertrauen. Ziehen Sie für Finanzentscheidungen in Erwägung, eine Fachperson zu konsultieren.
Kann die Wachstumsrate höher sein als der Abzinsungssatz?
Nein, nicht in dieser Formel. Wenn \(g \geq r\), wachsen die Zahlungen mindestens so schnell, wie sie abgezinst werden, sodass die Summe der unendlichen Reihe divergiert und kein endlicher Barwert existiert. Stoßen Sie auf diese Situation, ist die Wachstumsannahme auf lange Sicht unrealistisch — begrenzen Sie den Zeithorizont auf eine feste Anzahl von Jahren und verwenden Sie stattdessen eine Berechnung mit einer wachsenden Annuität.
Was passiert, wenn die Wachstumsrate null ist?
Mit \(g = 0\) vereinfacht sich die Formel zu \(PV = C / r\), dem Barwert einer gewöhnlichen (nicht wachsenden) ewigen Rente. Eine Zahlung von 1.000 $, abgezinst mit 5 %, ist \(1000 / 0.05 = 20.000\) $ wert. Die Formel der wachsenden ewigen Rente umfasst die einfache ewige Rente also als Spezialfall.
Wie gehe ich mit Zahlungen um, die zu Beginn jeder Periode erfolgen?
Die Standardformel geht davon aus, dass die erste Zahlung eine volle Periode ab heute erfolgt (eine gewöhnliche ewige Rente). Fällt Ihre erste Zahlung sofort an, haben Sie eine vorschüssige ewige Rente: Multiplizieren Sie das Ergebnis mit \((1 + r)\). Zeigt der Rechner beispielsweise 20.000 $ bei \(r = 8\%\), lautet die vorschüssige Variante \(20000 \times 1.08 = 21.600\) $.
Wie wird diese Formel im Gordon-Growth-Modell für Aktien verwendet?
Das Gordon-Growth-Modell wendet dieselbe Formel auf Dividenden an: Der Wert einer Aktie entspricht der Dividende des nächsten Jahres geteilt durch die erforderliche Rendite minus Dividendenwachstumsrate. Zahlt eine Aktie im nächsten Jahr eine Dividende von 3 $, die um 4 % wächst, und verlangen Sie eine Rendite von 9 %, ist die Aktie \(3 / (0.09 - 0.04) = 60\) $ wert. Beachten Sie, dass \(C\) die Dividende der nächsten Periode sein muss, nicht die gerade gezahlte.
Was sind die häufigsten Fehler bei der Anwendung dieser Formel?
Die häufigsten Fehler sind die Verwendung von Prozentsätzen statt Dezimalzahlen, das Einsetzen der heutigen Zahlung statt der Zahlung in einem Jahr, das Vergessen, dass \(r\) größer als \(g\) sein muss, und die Anwendung einer unrealistisch hohen langfristigen Wachstumsrate bei DCF-Endwerten. Achten Sie auch auf den Zeitpunkt: Bei vierteljährlichen oder monatlichen Zahlungen müssen die Sätze vor der Anwendung der Formel in die passende Periode umgerechnet werden.