Auftriebskraft-Rechner
Berechnen Sie die Auftriebskraft auf einen Körper aus der Fluiddichte, dem verdrängten Volumen und der Fallbeschleunigung nach dem Archimedischen Prinzip. Optional können Sie das Gewicht des Körpers eingeben, um sein scheinbares Gewicht zu erhalten und zu sehen, ob er schwimmt oder sinkt.
Auftriebskraft aus Flüssigkeitsdichte und verdrängtem Volumen
Formel für die Auftriebskraft
Dabei ist:
- \(F_b\) — Auftriebskraft (N), die nach oben gerichtete Kraft des Fluids
- \(\rho_{\text{Fluid}}\) — Dichte des Fluids (kg/m³)
- \(V\) — Volumen des vom Körper verdrängten Fluids (m³)
- \(g\) — Erdbeschleunigung bzw. Fallbeschleunigung (m/s², auf der Erde 9,81)
Dies ist das Archimedische Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht des vom Körper verdrängten Fluids. Wenn Sie außerdem das Gewicht des Körpers in Luft \(W\) kennen, ist sein scheinbares Gewicht im Fluid \(W_{\text{app}} = W - F_b\).
Gilt \(W_{\text{app}} > 0\), sinkt der Körper; bei \(W_{\text{app}} = 0\) ist er neutral auftrieb (schwebt); gilt \(W_{\text{app}} < 0\), schwimmt er und verdrängt nur so viel Fluid, wie nötig ist, um sein Gewicht auszugleichen.
Auftriebskraft – Rechenbeispiel
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Beispiel: Ein vollständig eingetauchter Körper verdrängt 2 L Süßwasser (Dichte 1000 kg/m³). Die Standard-Fallbeschleunigung beträgt 9,81 m/s², und der Körper wiegt in Luft 25 N.
\[ F_b = 1000 \ \tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 0.002\ \text{m}^3 \times 9.81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = 19.62\ \text{N} \]
\[ W_{\text{app}} = 25\ \text{N} - 19.62\ \text{N} = 5.38\ \text{N} \]
Ergebnis: Die Auftriebskraft beträgt 19,62 N und das scheinbare (unter Wasser gemessene) Gewicht 5,38 N. Da die Auftriebskraft kleiner als das Gewicht ist, sinkt der Körper; man bräuchte eine nach oben gerichtete Zugkraft von 5,38 N, um ihn stillzuhalten.
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So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Fluiddichte (ρ) ein und wählen Sie eine Einheit. Süßwasser hat eine Dichte von etwa 1000 kg/m³, Meerwasser von etwa 1025 kg/m³.
- Geben Sie das Verdrängte Volumen (V) ein — das Volumen des Fluids, das der Körper verdrängt — und wählen Sie die Einheit (m³, L, cm³, ft³, in³ oder gal). Bei einem vollständig eingetauchten Körper entspricht dies einfach dem Volumen des Körpers.
- Legen Sie die Fallbeschleunigung (g) fest. Verwenden Sie auf der Erde 9,81 m/s², sofern Sie nicht auf einem anderen Planeten rechnen oder eine Aufgabe haben, die einen anderen Wert vorgibt.
- Geben Sie optional das Gewicht des Körpers in Luft (W) ein. Lassen Sie das Feld frei, um nur die Auftriebskraft zu erhalten; geben Sie es ein, um zusätzlich das scheinbare Gewicht, die mittlere Dichte des Körpers und eine Schwimm-/Sink-Prognose zu erhalten.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Auftriebskraft in Newton sowie kN, kgf und lbf, das scheinbare Gewicht, falls Sie \(W\) angegeben haben, und die Formeln mit eingesetzten Werten.
Was ist die Auftriebskraft?
Die Auftriebskraft ist die nach oben gerichtete Kraft, die ein Fluid auf jeden darin eingetauchten Körper ausübt. Sie entsteht, weil der Druck in einem Fluid mit der Tiefe zunimmt: Der Druck, der auf die Unterseite eines Körpers nach oben drückt, ist größer als der Druck, der auf seine Oberseite nach unten drückt. Die Folge ist eine nach oben gerichtete Kraft, die dem Gewicht des verdrängten Fluids entspricht — eine Regel, die Archimedes von Syrakus vor über 2200 Jahren entdeckte.
Entscheidend ist allein das verdrängte Fluid, nicht der Körper selbst. Ein Stahlschiff schwimmt, weil sein Rumpf ein riesiges Volumen umschließt und Wasser verdrängt, dessen Gewicht das Gewicht des Schiffs übersteigt. Ein massiver Stahlblock gleicher Masse sinkt, weil er weit weniger Wasser verdrängt. Deshalb ist der Dichtevergleich der schnellste Weg, das Ergebnis vorherzusagen: Ein Körper mit einer mittleren Dichte kleiner als die Dichte des Fluids schwimmt, ein dichterer sinkt, und bei exakt gleicher Dichte hat er neutralen Auftrieb.
Das scheinbare Gewicht ist das, was der Körper unter Wasser „wiegt“ — es ist zugleich das, was eine Waage anzeigen würde, wenn man ihn eingetaucht wiegt. Taucher erleben das unmittelbar: Ein korrekt gewichteter Taucher hat nahezu neutralen Auftrieb, also \(W \approx F_b\), und das Schweben kostet kaum Kraft. Dasselbe Prinzip gilt für Heißluftballons (bei denen das „Fluid“ Luft ist), Aräometer und die an Schiffsrümpfen markierten Ladelinien.
Annahmen, Grenzen und Hinweise
- Vollständiges Eintauchen wird angenommen. Wenn Sie ein Gewicht eingeben, legt der Rechner das verdrängte Volumen als das Gesamtvolumen des Körpers fest. Ein schwimmender Körper verdrängt nur einen Teil seines Volumens, was der Rechner in der Schwimm-Prognose angibt.
- Das Fluid ist inkompressibel und einheitlich. In der Praxis variiert die Dichte leicht mit Temperatur, Salzgehalt und Tiefe. Für Meerwasser sind Werte zwischen 1020 und 1030 kg/m³ typisch.
- Oberflächenspannung und Strömungen werden vernachlässigt. Bei kleinen Körpern (eine Nadel auf dem Wasser) kann die Oberflächenspannung eine Rolle spielen; sie ist hier nicht berücksichtigt.
- Denken Sie daran: 1 L = 0,001 m³ und 1 g/cm³ = 1000 kg/m³ — diese beiden Umrechnungen verursachen die meisten Einheitenfehler bei Auftriebsaufgaben.
- Wenn der Körper schwimmt, ist sein scheinbares Gewicht im Gleichgewicht null, nicht negativ; der Rechner gibt das reduzierte Volumen an, das er beim Schwimmen tatsächlich verdrängt.
Wenn Sie das vollständige Kräftebild an einem eingetauchten Körper analysieren, finden Sie vielleicht auch unsere Rechner für Kraft und Seilzugkraft nützlich, etwa um die Seilzugkraft zum Anheben des unter Wasser befindlichen Körpers zu bestimmen, oder den Rechner zur Atwoodschen Fallmaschine für Aufgaben mit verbundenen Massen.
Häufig gestellte Fragen
Ändert sich die Auftriebskraft mit der Tiefe?
Nein — solange der Körper vollständig eingetaucht ist und das Fluid inkompressibel ist, bleibt die Auftriebskraft in jeder Tiefe gleich. Nur das verdrängte Volumen und die Fluiddichte zählen, und beide ändern sich nicht, wenn man den Körper tiefer drückt. In Wirklichkeit ist Wasser minimal kompressibel, sodass die Dichte mit der Tiefe geringfügig zunimmt, doch der Effekt ist für Alltagsberechnungen vernachlässigbar.
Warum schwimmt ein Körper in Meerwasser, aber sinkt er in Süßwasser?
Meerwasser enthält gelöstes Salz und ist dadurch dichter (etwa 1025 kg/m³ gegenüber 1000 kg/m³ bei Süßwasser). Ein dichteres Fluid wiegt pro verdrängter Volumeneinheit mehr und drückt daher stärker nach oben. Ein Körper, dessen mittlere Dichte zwischen diesen beiden Werten liegt — etwa bei 1010 kg/m³ —, schwimmt im Meer, aber sinkt im See. Deshalb fällt das Schwimmen in sehr salzhaltigem Wasser wie dem Toten Meer auch spürbar leichter.
Kann ich die Masse in kg statt des Gewichts in Newton eingeben?
Seien Sie hier vorsichtig. Die Formel verlangt das Gewicht (eine Kraft) in Newton. Wenn Sie nur die Masse des Körpers in Kilogramm kennen, rechnen Sie zuerst um: Multiplizieren Sie die Masse mit der Fallbeschleunigung; beispielsweise wiegt ein Körper mit 10 kg auf der Erde etwa 98,1 N. Ein häufiger Fehler ist, 10 in ein Feld einzugeben, das Newton erwartet — das unterschätzt das Gewicht um etwa den Faktor 10 und dreht die Schwimm-/Sink-Prognose ins Gegenteil.
Wie finde ich das Volumen eines unregelmäßigen Körpers für das verdrängte Volumen?
Tauchen Sie den Körper in einen randvoll gefüllten Behälter mit Wasser ein und messen Sie den Überlauf, oder beobachten Sie den Anstieg des Wasserspiegels in einem Messbehälter — das Volumen dieses Wassers entspricht dem Volumen des Körpers. Alternativ können Sie die Volumenformel für eine regelmäßige Form (Würfel, Kugel, Zylinder) verwenden. Ist der Körper vollständig wasserdicht, entspricht sein Volumen genau dem, was Sie als verdrängtes Volumen eingeben.
Wirkt Auftrieb auch in Luft, nicht nur in Wasser?
Ja — jedes Fluid, auch Luft, erzeugt eine Auftriebskraft. Luft hat auf Meereshöhe eine Dichte von etwa 1,225 kg/m³; eine Person, die rund 0,07 m³ Luft verdrängt, spürt eine nach oben gerichtete Kraft von weniger als 1 N. Sie ist klein, aber real, und Präzisionswaagen rechnen sie heraus. Heißluftballons nutzen genau das aus: Die warme Luft im Inneren ist weniger dicht als die Umgebungsluft, sodass die verdrängte Luft mehr wiegt als der Ballon.
Was ist der Unterschied zwischen Auftriebskraft und statischem Auftrieb?
Es gibt keinen Unterschied — der statische Auftrieb ist einfach ein anderer üblicher Name für die Auftriebskraft, besonders in britischen Lehrbüchern. Beide bezeichnen dieselbe nach oben gerichtete Kraft, die dem Gewicht des verdrängten Fluids entspricht und durch \(F_b = \rho \cdot V \cdot g\) gegeben ist. Man findet auch die Bezeichnung Archimedische Kraft. All diese Begriffe sind in Auftriebsaufgaben austauschbar.
Wie berechne ich den Auftrieb auf dem Mond oder dem Mars?
Ändern Sie die Fallbeschleunigung: etwa 1,62 m/s² auf dem Mond und 3,71 m/s² auf dem Mars. Die Auftriebskraft skaliert direkt mit g, sodass derselbe Körper im selben Fluid dort eine kleinere Auftriebskraft erfährt. Interessanterweise ändert sich dabei nicht, ob er schwimmt oder sinkt, denn sowohl das Gewicht als auch die Auftriebskraft schrumpfen um denselben Faktor.