Calculateur de loi hypergéométrique
Calculez les probabilités hypergéométriques exactes et cumulées pour un tirage sans remise. Saisissez la taille de la population, le nombre d’éléments favorables, le nombre de tirages et le nombre de succès souhaité.
Calculer les probabilités hypergéométriques
Formule de la loi hypergéométrique
Où :
- \(N\) — taille de la population (nombre total d’éléments)
- \(K\) — nombre d’éléments favorables dans la population (éléments possédant la propriété recherchée)
- \(n\) — nombre de tirages (taille de l’échantillon, tiré sans remise)
- \(k\) — nombre de succès souhaité dans l’échantillon
La formule donne la probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès dans un échantillon de \(n\) éléments tirés sans remise d’une population finie de \(N\) éléments contenant \(K\) éléments favorables. L’espérance et l’écart-type sont \(E(X) = nK/N\) et \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\).
Loi hypergéométrique – exemple de calcul
Exemple : un jeu standard compte 52 cartes, dont 13 cœurs. Vous tirez 5 cartes et voulez connaître la probabilité d’obtenir exactement 2 cœurs. On a donc \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Résultat : \(P(X = 2) \approx 0.2743\), soit environ 27,43 % (à peu près 1 chance sur 4). La probabilité cumulée \(P(X \le 2)\) est d’environ 90,72 %, l’espérance est de \(E(X) = 1.25\) cœur et l’écart-type est d’environ 0,93.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez la taille de la population \(N\) — le nombre total d’éléments parmi lesquels vous effectuez le tirage.
- Saisissez le nombre d’éléments favorables dans la population \(K\) — le nombre d’éléments possédant la propriété qui vous intéresse.
- Saisissez le nombre de tirages (taille de l’échantillon) \(n\) — le nombre d’éléments tirés sans remise.
- Saisissez le nombre de succès souhaité \(k\) — le nombre de succès que vous voulez obtenir dans votre échantillon.
- Consultez les résultats : la probabilité exacte \(P(X = k)\), les probabilités cumulées \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (toutes exprimées en pourcentage), ainsi que l’espérance, l’écart-type, la formule avec vos valeurs et une interprétation en langage courant.
Qu’est-ce que la loi hypergéométrique ?
La loi hypergéométrique décrit le nombre de succès obtenus lorsqu’on tire un nombre fixe d’éléments sans remise dans une population finie. C’est le modèle approprié dès que chaque tirage modifie la composition des éléments restants : distribuer des cartes d’un jeu, prélever des pièces dans un lot pour un contrôle qualité, sélectionner des personnes pour une enquête dans un petit groupe ou tirer des numéros de loterie.
La loi qui s’en rapproche le plus est la loi binomiale, qui s’applique lorsque les éléments sont tirés avec remise (ou dans une population pratiquement infinie), de sorte que la probabilité de succès reste la même à chaque essai. Dans la loi hypergéométrique, chaque élément favorable retiré diminue la probabilité de succès aux tirages suivants : c’est exactement ce qui se passe avec un vrai jeu de cartes ou un lot fini de produits. Si l’échantillon est petit par rapport à la population (disons moins de 5 à 10 %), les deux lois donnent des résultats presque identiques.
Le calculateur indique la probabilité de tous les résultats possibles en une seule fois, ce qui est souvent plus utile que la seule probabilité exacte. Par exemple, un contrôleur qualité peut avoir besoin de \(P(X \ge k)\) — la probabilité de trouver au moins un certain nombre de pièces défectueuses — tandis qu’un joueur de cartes peut chercher \(P(X \le k)\), la probabilité de tirer au plus quelques cartes clés. L’espérance \(E(X) = nK/N\) indique le nombre moyen de succès attendu dans un échantillon ; c’est simplement la taille de l’échantillon multipliée par la proportion d’éléments favorables dans la population.
La forme de la loi dépend des paramètres : elle peut être symétrique, présenter une asymétrie vers les petits nombres de succès ou vers les grands nombres. Les valeurs possibles de \(X\) sont également bornées : vous ne pouvez pas tirer plus d’éléments favorables qu’il n’en existe dans la population, ni obtenir plus de succès que le nombre d’éléments tirés. Le nombre de succès est donc limité à l’intervalle \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\). Le calculateur renvoie automatiquement une probabilité nulle si votre \(k\) se situe hors de cet intervalle.
Hypothèses, limites et conseils
- Tirage sans remise : le modèle suppose que les éléments tirés ne sont pas remis dans la population. Si les éléments sont remis après chaque tirage, utilisez plutôt le calculateur de loi binomiale.
- Taille d’échantillon fixe : le nombre de tirages \(n\) doit être décidé à l’avance et rester fixe. Si vous comptez des événements qui surviennent aléatoirement pendant un intervalle de temps ou dans une zone de l’espace définis, le calculateur de loi de Poisson est plus adapté.
- Échantillons équiprobables : chaque sous-ensemble possible de \(n\) éléments doit avoir la même probabilité d’être tiré. Si certains éléments ont plus de chances d’être sélectionnés, le modèle hypergéométrique ne s’applique pas.
- Nombres entiers uniquement : \(N\), \(K\), \(n\) et \(k\) doivent être des entiers, avec \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) et \(0 \le k \le n\).
- Grandes populations : lorsque \(n\) est petit par rapport à \(N\), la loi hypergéométrique est bien approchée par la loi binomiale (ou, pour de grands effectifs, par la loi normale), mais ce calculateur donne le résultat exact, sans approximation.
- Vérifiez les coefficients binomiaux : la formule dans laquelle vos valeurs sont substituées utilise la notation \(\binom{a}{b}\). Vous pouvez vérifier ces valeurs avec le calculateur de permutations et de combinaisons.
- Interprétation d’une probabilité nulle : un résultat de 0 % signifie généralement que votre \(k\) est impossible — par exemple, si vous demandez 3 succès alors que la population ne contient que 2 éléments favorables.
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité hypergéométrique à la main ?
Comptez le nombre de façons de choisir les succès souhaités parmi les éléments favorables \(\binom{K}{k}\), multipliez-le par le nombre de façons de choisir les autres éléments tirés parmi les éléments non favorables \(\binom{N-K}{n-k}\), puis divisez par le nombre total d’échantillons possibles \(\binom{N}{n}\). Pour de petits nombres, vous pouvez utiliser les factorielles : \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Pour des nombres plus grands, utilisez le calculateur afin d’éviter les erreurs de calcul avec d’énormes factorielles.
Comment obtenir la probabilité d’avoir au moins ou au plus k succès ?
Le calculateur donne directement les quatre probabilités cumulées. Au moins k correspond à \(P(X \ge k)\) ; au plus k correspond à \(P(X \le k)\). À la main, il faudrait additionner les probabilités exactes de tous les résultats de cet intervalle, par exemple \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\), ce qui devient vite fastidieux — c’est précisément ce que les résultats cumulés font pour vous.
Pourquoi ai-je obtenu une probabilité exactement égale à 0 ?
Un résultat nul signifie presque toujours que le nombre de succès demandé est impossible. L’échantillon ne peut pas contenir plus d’éléments favorables qu’il n’en existe dans la population (\(k \le K\)), ni plus de succès que de tirages (\(k \le n\)), ni moins de succès que le minimum imposé lorsque presque tous les éléments restants sont favorables. Le résultat affichant la formule avec vos valeurs indique l’intervalle valide pour vos paramètres ; tout \(k\) situé hors de cet intervalle a réellement une probabilité de 0 %.
Quelle est la différence entre P(X = k) et P(X ≤ k) ?
\(P(X = k)\) est la probabilité d’obtenir ce nombre exact de succès — par exemple, exactement 2 cœurs parmi 5 cartes. \(P(X \le k)\) est la probabilité d’obtenir ce nombre de succès ou moins — 0, 1 ou 2 cœurs. La probabilité cumulée est toujours plus grande. Vérifiez bien ce que demande votre problème : « au plus 2 » correspond à \(P(X \le 2)\), tandis que « exactement 2 » correspond à \(P(X = 2)\).
Puis-je utiliser ce calculateur pour les probabilités à la loterie ?
Oui — les loteries sont un exemple classique de loi hypergéométrique : les boules sont tirées sans remise d’un ensemble fini. Définissez \(N\) comme le nombre total de boules, \(K\) comme le nombre de numéros figurant sur votre ticket, \(n\) comme le nombre de boules tirées et \(k\) comme le nombre de correspondances souhaité. Par exemple, pour calculer la probabilité de décrocher le gros lot dans un jeu « 6 sur 49 », utilisez \(N = 49\), \(K = 6\), \(n = 6\), \(k = 6\).
Quelles sont les erreurs les plus courantes lors de la saisie des valeurs ?
La principale consiste à confondre les paramètres : \(N\) représente la population entière, \(K\) uniquement les éléments possédant la propriété recherchée et \(n\) la taille de l’échantillon — pas l’inverse. Une autre erreur fréquente est d’utiliser le modèle hypergéométrique pour des tirages avec remise, qui nécessitent plutôt la loi binomiale. Enfin, les quatre valeurs doivent être des nombres entiers ; les fractions d’éléments ou de tirages ne sont pas valides.
Que signifie concrètement l’espérance E(X) = nK/N ?
C’est le nombre moyen de succès attendu par échantillon si vous répétiez le tirage de nombreuses fois — simplement la taille de l’échantillon multipliée par la proportion d’éléments favorables dans la population. Si 20 % des pièces d’un lot sont défectueuses et que vous en contrôlez 10, l’espérance est de 2 pièces défectueuses. Chaque échantillon peut toutefois s’écarter de cette valeur ; l’écart-type indique l’ampleur de ces variations, et l’espérance n’est souvent ni un nombre entier ni le résultat individuel le plus probable.