Calculateur de l'équation des lentilles minces
Résolvez l'équation des lentilles minces 1/f = 1/do + 1/di pour la distance image, la distance objet ou la distance focale. Entrez deux valeurs connues et obtenez la troisième, plus le type d'image, le grandissement et la hauteur de l'image.
Trouver la distance ou la distance focale manquante
Formule de l'équation des lentilles
Où :
- \(f\) — distance focale de la lentille (m)
- \(d_o\) — distance objet : de l'objet à la lentille (m)
- \(d_i\) — distance image : de la lentille à l'image (m)
En résolvant pour la grandeur manquante, on obtient trois formes réarrangées équivalentes : \(d_i = \dfrac{d_o f}{d_o - f}\), \(d_o = \dfrac{d_i f}{d_i - f}\) et \(f = \dfrac{d_o d_i}{d_o + d_i}\). Une fois les trois distances connues, le grandissement transversal découle de \(m = -\dfrac{d_i}{d_o}\), et la hauteur de l'image de \(h_i = m\,h_o\).
Équation des lentilles – Exemple de calcul
Exemple : un objet se trouve à 30 cm devant une lentille convergente de distance focale 10 cm, et l'objet mesure 5 cm de haut. Où se forme l'image, et à quoi ressemble-t-elle ?
\[ d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} = \frac{0.30 \times 0.10}{0.30 - 0.10} = \frac{0.03}{0.20} = 0.15\ \text{m} \]
\[ m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{0.15}{0.30} = -0.5 \]
\[ h_i = m\,h_o = -0.5 \times 0.05 = -0.025\ \text{m} \]
Résultat : l'image se forme à 15 cm derrière la lentille (réelle, car \(d_i > 0\)). Le grandissement vaut \(-0.5\times\) : l'image est donc renversée et deux fois plus petite que l'objet, soit 2,5 cm de haut.
Comment utiliser le calculateur
- Dans le menu déroulant Calculer, choisissez la grandeur que vous souhaitez déterminer : Distance image (di), Distance objet (do) ou Distance focale (f). Le champ correspondant à cette grandeur est masqué — vous saisissez les deux autres.
- Entrez les deux distances connues dans Distance objet (do) et Distance focale (f) (ou Distance image (di) si vous calculez do), et choisissez l'unité (mm, cm, m, in ou ft) pour chacune.
- Entrez éventuellement la Hauteur de l'objet (ho) si vous voulez aussi connaître la hauteur de l'image. Laissez le champ vide pour ignorer cette partie.
- Lisez les résultats : la distance calculée (convertie en mètres, centimètres, millimètres, pouces et pieds), le type de lentille, le caractère réel ou virtuel de l'image, ainsi que le grandissement, l'orientation et la hauteur de l'image.
Ce que décrit l'équation des lentilles minces
L'équation des lentilles minces relie la position d'un objet, la position de son image et la distance focale d'une lentille. Une lentille dévie les rayons parallèles de façon à les faire converger en un point (lentille convergente, ou convexe, avec \(f > 0\)) ou à les faire paraître diverger d'un point (lentille divergente, ou concave, avec \(f < 0\)). La distance focale est la distance entre la lentille et ce point ; elle détermine entièrement la manière dont la lentille forme les images — à condition que la lentille soit mince par rapport aux distances en jeu.
La convention de signes est importante. Un objet réel placé devant la lentille a \(d_o > 0\). Une distance image positive correspond à une image réelle : la lumière converge réellement de l'autre côté de la lentille, on peut donc la recueillir sur un écran ou un capteur — c'est ainsi que fonctionnent les appareils photo et les projecteurs. Une distance image négative correspond à une image virtuelle : les rayons semblent seulement provenir d'un point situé du côté de l'objet, il faut donc regarder à travers la lentille pour la voir, comme avec une loupe ou des lunettes.
Le grandissement \(m = -d_i/d_o\) indique comment l'image se compare à l'objet. Sa valeur absolue est le rapport des tailles : \(|m| = 2\) signifie que l'image est deux fois plus grande. Son signe donne l'orientation : un \(m\) négatif signifie une image renversée (tête en bas), un \(m\) positif une image droite. Les images réelles formées par une seule lentille convergente sont renversées ; les images virtuelles sont droites.
Deux cas particuliers méritent d'être retenus. Si l'objet se trouve exactement au point focal (\(d_o = f\)), l'image se forme à l'infini — c'est le principe des phares de voiture ou d'un collimateur. Si l'objet est très éloigné (\(d_o \to \infty\)), alors \(d_i = f\) : les rayons incidents parallèles convergent au point focal, c'est ainsi qu'un appareil photo met au point une scène lointaine sur le capteur.
Conventions de signes en bref
| Grandeur | Positive | Négative |
|---|---|---|
| Distance focale \(f\) | Lentille convergente (convexe) | Lentille divergente (concave) |
| Distance objet \(d_o\) | Objet réel devant la lentille | Objet virtuel (rare, par ex. dans les systèmes de lentilles) |
| Distance image \(d_i\) | Image réelle derrière la lentille (projetable) | Image virtuelle du côté de l'objet |
| Grandissement \(m\) | Image droite | Image renversée |
Hypothèses et limites
- Lentille mince : l'épaisseur de la lentille est supposée négligeable devant \(d_o\), \(d_i\) et \(f\). Pour les lentilles épaisses ou les systèmes de lentilles, les distances mesurées depuis les plans principaux apportent de petites corrections.
- Rayons paraxiaux : l'équation est valable pour des rayons proches de l'axe optique et sous de petits angles. Les lentilles à grande ouverture souffrent d'aberrations qui décalent le foyer réel.
- Longueur d'onde unique : la distance focale dépend légèrement de la couleur de la lumière (aberration chromatique) ; le résultat n'est donc exact que pour une seule longueur d'onde.
- Le calculateur suppose la convention de signes standard ci-dessus. Si votre manuel utilise une convention différente, convertissez les signes avant de comparer les résultats.
- Les distances doivent être non nulles, et les cas dégénérés (\(d_o = f\), \(d_i = f\) ou \(d_o = -d_i\)) correspondent à des images ou des objets à l'infini et sont rejetés avec une explication.
Calculateurs associés
Pour d'autres outils de physique, essayez le solveur d'équations cinématiques pour les problèmes de mouvement, le calculateur de déplacement pour les changements de position, ou le calculateur de puissance pour le transfert d'énergie au fil du temps.
Questions fréquentes
Comment résoudre l'équation des lentilles minces à la main ?
Partez de \( 1/f = 1/d_o + 1/d_i \) et résolvez pour l'inconnue. Pour la distance image : \( d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} \). Pour la distance focale : \( f = \frac{d_o d_i}{d_o + d_i} \). Utilisez le calculateur pour vérifier vos calculs — il applique aussi la convention de signes pour vous — les erreurs de signe sont la source d'erreur la plus fréquente dans les calculs à la main.
Pourquoi ma distance image est-elle négative — est-ce une erreur ?
Non, un \( d_i \) négatif signifie que l'image est virtuelle. Elle se forme du même côté de la lentille que l'objet : impossible de la projeter sur un écran — on ne la voit qu'en regardant à travers la lentille. Cela se produit chaque fois que l'objet est plus proche d'une lentille convergente que son point focal, ce qui est exactement le principe de la loupe. L'image est alors droite et agrandie.
L'équation des lentilles minces fonctionne-t-elle pour les lentilles concaves (divergentes) ?
Oui, mais entrez la distance focale sous forme d'un nombre négatif. Pour une lentille divergente, \( f < 0 \), et un objet réel produit toujours une image virtuelle, droite et réduite, du côté de l'objet. C'est pourquoi les lunettes pour la myopie utilisent des lentilles négatives. Si vous entrez une distance focale positive pour une lentille concave, tous les résultats seront faux.
Comment convertir une distance focale en vergence de la lentille en dioptries ?
La vergence est l'inverse de la distance focale en mètres : \( P = 1/f \), mesurée en dioptries (D). Une lentille avec \( f = 0.25 \) m a \( P = 4 \) D ; une lentille divergente avec \( f = -0.5 \) m a \( P = -2 \) D. Les prescriptions de lunettes sont exprimées en dioptries, tandis que les objectifs photo indiquent généralement la distance focale en millimètres — cette conversion fait le lien entre les deux.
Puis-je utiliser cette équation pour les miroirs aussi ?
Oui. La même équation s'applique aux miroirs sphériques avec la même convention de signes : un miroir concave se comporte comme une lentille convergente (\( f \) positif), et un miroir convexe comme une lentille divergente (\( f \) négatif). La distance focale du miroir vaut la moitié de son rayon de courbure, \( f = R/2 \). La principale différence physique est qu'un miroir forme les images réelles du même côté que l'objet.
Que se passe-t-il si l'objet se trouve exactement au point focal ?
L'équation ne fonctionne plus : avec \( d_o = f \), les rayons réfractés sortent de la lentille parallèles et ne convergent jamais, donc l'image se forme à l'infini. Ce n'est pas une erreur de votre configuration — c'est un véritable cas dégénéré, utilisé volontairement dans les phares de voiture et les collimateurs pour produire un faisceau parallèle. Le calculateur le détecte et l'explique au lieu de renvoyer une valeur infinie.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec cette équation ?
Les trois premières : oublier le signe d'une distance focale ou d'une distance image négative, mélanger les unités (entrer des centimètres là où des mètres sont attendus, ou inversement) et confondre distance objet et distance image. Rappelez-vous aussi que l'équation suppose une lentille mince et de petits angles — une lentille épaisse ou un système à grande ouverture s'en écarte légèrement, et les résultats mesurés peuvent différer de quelques pour cent.