Calculateur de l’équation de Bernoulli
Résolvez l’équation de Bernoulli pour déterminer la pression, la vitesse ou l’altitude inconnue en un second point situé le long d’une ligne de courant. Saisissez toutes les données au point 1, laissez un champ du point 2 vide et le calculateur trouvera l’inconnue.
Calculer la pression, la vitesse ou l’altitude manquante
Formule de l’équation de Bernoulli
Où :
- \(P_1\), \(P_2\) — pression statique aux points 1 et 2 (Pa)
- \(v_1\), \(v_2\) — vitesse d’écoulement aux points 1 et 2 (m/s)
- \(h_1\), \(h_2\) — altitude des points 1 et 2 par rapport à un niveau de référence choisi (m)
- \(\rho\) — masse volumique du fluide (kg/m³)
- \(g\) — accélération de la pesanteur, 9,80665 m/s²
L’équation indique que l’énergie mécanique totale par unité de volume — la somme de la pression statique, de la pression dynamique \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) et du terme lié à l’altitude \(\rho g h\) — est la même en tout point d’une ligne de courant dans un écoulement idéal. Pour déterminer une grandeur inconnue, on réarrange l’équation, par exemple :
\[ P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(h_1 - h_2\right) \]
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Équation de Bernoulli – exemple de calcul
Exemple : de l’eau (\(\rho = 1000\) kg/m³) s’écoule dans une conduite. Au point 1, la pression est de 200 kPa, la vitesse de 2 m/s et l’altitude de 5 m. Plus en aval, au point 2, la conduite se rétrécit : la vitesse passe à 4 m/s et la conduite descend à une altitude de 2 m. Déterminez la pression au point 2.
\[ P_2 = 200\,000 + \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 4^2) + (1000)(9.80665)(5 - 2) \]
\[ P_2 = 200\,000 - 6000 + 29\,419.95 = 223\,419.95 \text{ Pa} \]
Résultat : \(P_2 \approx 223.42\) kPa. L’eau accélère (ce qui fait perdre 6 kPa de pression au profit de la pression dynamique), mais la baisse d’altitude de 3 m ajoute environ 29,4 kPa : la pression au point 2 est donc finalement plus élevée qu’au point 1. Ce sont les valeurs par défaut du calculateur ; vous pouvez donc reproduire directement le résultat.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez la pression (P₁), la vitesse (v₁) et l’altitude (h₁) au point 1. Ces trois valeurs sont nécessaires et chacune peut être saisie dans l’unité de votre choix.
- Au point 2, renseignez les deux valeurs que vous connaissez et laissez exactement un champ vide parmi la pression (P₂), la vitesse (v₂) et l’altitude (h₂). Le calculateur déterminera cette valeur.
- Saisissez la masse volumique du fluide (ρ) : elle est d’environ 1 000 kg/m³ pour l’eau, 1 025 kg/m³ pour l’eau de mer, 1,225 kg/m³ pour l’air et 900 kg/m³ pour l’huile.
- Consultez la valeur calculée dans les résultats, affichée dans plusieurs unités, ainsi que le bilan énergétique détaillé aux deux points, exprimé en pression et en hauteur de charge.
Si vous remplissez les trois champs du point 2, le calculateur passe en mode vérification : il calcule l’énergie totale aux deux points et indique si les valeurs respectent le bilan de Bernoulli sans frottement, ainsi que l’ampleur de leur écart.
Ce que décrit l’équation de Bernoulli
L’équation de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie appliquée à un fluide en écoulement. Le long d’une même ligne de courant, l’énergie peut passer entre trois formes : la pression statique (la « poussée » du fluide), l’énergie cinétique (représentée par la pression dynamique \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)) et l’énergie potentielle (\(\rho g h\), qui tient compte de la hauteur). Si l’une de ces formes augmente, une ou deux des autres doivent diminuer pour compenser.
La conséquence classique est la relation inverse entre vitesse et pression : lorsqu’une conduite se rétrécit et que le fluide accélère, la pression statique diminue. Ce même principe explique pourquoi une aile d’avion produit de la portance, pourquoi un rideau de douche est attiré vers l’intérieur quand l’eau coule et pourquoi un carburateur ou un vaporisateur peut aspirer un liquide dans un courant d’air rapide. À l’inverse, lorsque le fluide ralentit de nouveau — par exemple dans une partie élargie d’une conduite ou à un point de stagnation — la pression remonte.
Il vaut mieux interpréter le résultat comme un bilan énergétique que comme une simple « pression ». Le second tableau du calculateur exprime chaque terme à la fois en pascals et en mètres de charge, c’est-à-dire la hauteur d’une colonne de fluide possédant la même énergie. La charge est couramment utilisée dans l’ingénierie des conduites et des pompes : une charge totale qui reste constante entre les deux points signifie que le bilan idéal est respecté, tandis qu’une baisse de charge dans un système réel quantifie les pertes par frottement, puisque la conservation de l’énergie dans les fluides réels inclut toujours la dissipation. Pour approfondir le principe sous-jacent, consultez le calculateur de conservation de l’énergie.
Hypothèses, limites et conseils pratiques
- Fluide incompressible : l’équation suppose une masse volumique constante. Elle est précise pour les liquides et donne une approximation raisonnable pour les gaz à des vitesses inférieures à environ un tiers de la vitesse du son.
- Écoulement stationnaire : les valeurs ne doivent pas varier dans le temps. Les variations transitoires rapides, comme les coups de bélier, nécessitent une analyse en régime non stationnaire.
- Sur une même ligne de courant, sans frottement : les conduites réelles perdent de l’énergie par frottement. Pour les conduites longues ou étroites, soustrayez une perte de charge par frottement entre les deux points, ou considérez la valeur calculée comme la limite idéale (le meilleur cas possible). Les pompes ajoutent de l’énergie et les turbines en extraient : ni les unes ni les autres ne sont prises en compte ici.
- Même référence de pression : les pressions relatives et absolues conviennent toutes deux, car seules les différences comptent, mais utilisez la même référence aux deux points. Si un point est à l’air libre, saisissez une pression relative de 0.
- Niveau de référence arbitraire : les altitudes peuvent être mesurées à partir de n’importe quel niveau de référence, et être négatives, à condition d’utiliser le même aux deux points.
- Lors du calcul de la vitesse, si l’énergie cinétique requise est négative, il n’existe aucune solution réelle : les pressions et les altitudes indiquées ne peuvent pas entretenir l’écoulement. Le calculateur vous le signalera.
L’équation de Bernoulli est l’un des résultats les plus utilisés en mécanique des fluides, de la plomberie et de la conception des systèmes de chauffage, ventilation et climatisation à l’instrumentation aéronautique. Si vous étudiez d’autres problèmes de physique fondés sur l’énergie, le calculateur de collision inélastique et le calculateur de force centripète abordent des situations connexes où l’énergie et les forces changent de forme.
Questions fréquentes
Comment résoudre l’équation de Bernoulli à la main, étape par étape ?
Écrivez le bilan \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2\), convertissez toutes les valeurs en unités SI (Pa, m/s, m, kg/m³), puis isolez l’inconnue. Par exemple, pour trouver \(v_2\) : \(v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2g(h_1 - h_2) + \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}\). Remplacez les variables par leurs valeurs en faisant attention au signe de chaque différence : inverser l’ordre d’une soustraction est l’erreur la plus fréquente dans un calcul à la main.
Dois-je saisir une pression relative ou absolue ?
Les deux conviennent, car l’équation de Bernoulli n’utilise que les différences de pression entre deux points. Le terme lié à la pression atmosphérique s’annule si vous utilisez la même référence aux deux points. Pour un réservoir ouvert ou un jet débouchant à l’air libre, saisissez 0 (en pression relative). Ne mélangez jamais les références : associer, par exemple, une pression absolue au point 1 à une pression relative au point 2 décalera votre résultat d’environ 101,3 kPa.
Pourquoi la pression calculée est-elle négative et qu’est-ce que cela signifie ?
Une pression relative négative signifie que, pour respecter l’équation idéale, la pression du fluide devrait descendre en dessous de celle d’un vide parfait. En réalité, le liquide cavite : des gaz dissous et des bulles de vapeur se forment, et l’écoulement ne suit plus le bilan de Bernoulli simple. Une pression absolue négative est physiquement impossible pour un liquide. Si vous obtenez ce résultat, la géométrie ou le débit supposé ne peut pas se produire : en général, la vitesse saisie est trop élevée pour l’énergie disponible.
Comment trouver la vitesse lorsque le diamètre de la conduite change ?
L’équation de Bernoulli seule ne permet pas de trouver les deux vitesses : il faut aussi l’équation de continuité pour un écoulement incompressible, \(A_1 v_1 = A_2 v_2\). Pour une conduite circulaire, \(A = \tfrac{\pi D^2}{4}\), donc \(v_2 = v_1 (D_1/D_2)^2\). Utilisez d’abord la continuité pour relier les deux vitesses, puis appliquez Bernoulli pour trouver la pression. Si le diamètre de la conduite est divisé par deux, la vitesse est multipliée par quatre.
L’équation de Bernoulli fonctionne-t-elle pour les gaz comme l’air ?
De façon approximative, tant que l’écoulement est lent. L’équation suppose une masse volumique constante, alors que l’air se comprime sensiblement à grande vitesse. En dessous d’environ un tiers de la vitesse du son (soit environ 100 m/s pour l’air), les variations de masse volumique restent faibles et l’erreur est négligeable. Pour les écoulements plus rapides — autour des avions, dans les tuyères à haute pression ou en conditions soniques — il faut utiliser les relations propres aux écoulements compressibles ; l’équation de Bernoulli surestimera les vitesses atteignables.
Quelle est la différence entre la hauteur de pression et la pression statique ?
La pression est une énergie par unité de volume (en pascals) ; la hauteur de pression exprime cette même énergie sous forme de hauteur d’une colonne de fluide (en mètres), selon \(h = P/(\rho g)\). Pour l’eau, 1 m de charge ≈ 9,81 kPa. Les ingénieurs préfèrent exprimer les charges en mètres pour les pompes et les conduites, car les pertes s’additionnent directement en mètres, quel que soit le fluide. Notez que la hauteur de charge équivalente à une pression donnée dépend de la masse volumique : une même pression de 98 kPa correspond à 10 m de colonne d’eau, mais à environ 8 000 m de colonne d’air.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec ce calculateur ?
Les erreurs classiques sont les suivantes : mélanger les unités entre les points (kPa au point 1, psi au point 2 — le calculateur le permet, mais la lecture peut prêter à confusion) ; utiliser des niveaux de référence différents pour \(h_1\) et \(h_2\) ; saisir la masse volumique de l’eau de mer ou de l’huile alors que le fluide est de l’eau douce ; et oublier que les vitesses doivent être considérées le long de la même ligne de courant. N’oubliez pas non plus que le résultat représente la limite idéale sans frottement : dans une conduite réelle, l’écoulement perd plusieurs pour cent de sa charge par frottement sur une longue distance.