Kalkulator trójkąta prostokątnego
Rozwiąż trójkąt prostokątny, znając dwa elementy, w tym co najmniej jeden bok. Wpisz długości boków, kąt ostry, pole lub obwód, aby obliczyć pozostałe wartości.
Rozwiąż trójkąt prostokątny na podstawie dwóch pomiarów
Wzory dla trójkąta prostokątnego
Gdzie:
- \(a\) i \(b\) — przyprostokątne, leżące odpowiednio naprzeciw kątów \(\alpha\) i \(\beta\)
- \(c\) — przeciwprostokątna, leżąca naprzeciw kąta prostego
- \(A\) — pole; \(P\) — obwód
- \(h\) — wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną
- \(r\) — promień okręgu wpisanego; \(R\) — promień okręgu opisanego
Boki i kąty ostre wyznaczają twierdzenie Pitagorasa i trygonometria. Gdy trójkąt jest już rozwiązany, jego boki określają również pole, obwód, wysokość i promienie okręgów.
Trójkąt prostokątny – przykład obliczenia
Przykład: wartościami domyślnymi są przyprostokątna a = 3 oraz przyprostokątna b = 4. Oblicz pozostałe wartości.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Wynik: boki mają długości 3, 4 i 5 jednostek; kąty ostre są w przybliżeniu równe 36,8699° i 53,1301°. Pole wynosi 6 jednostek kwadratowych, a obwód 12 jednostek.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz dwa znane elementy, w tym co najmniej jeden bok. Pola boków to Przyprostokątna a, Przyprostokątna b i Przeciwprostokątna c. Przyprostokątna a leży naprzeciw kąta α, a przyprostokątna b naprzeciw kąta β.
- W obliczeniach z bokiem i kątem wpisz bok oraz Kąt α lub Kąt β w stopniach. Możesz też połączyć bok z Polem lub Obwodem. Wszystkie długości podawaj w tej samej jednostce, a pole w odpowiedniej jednostce kwadratowej.
- Jeśli domyślne wartości w polach Przyprostokątna a i Przyprostokątna b nie należą do twoich danych, usuń je. Pola, których nie chcesz używać, zostaw puste.
- Wyniki obliczeń znajdziesz w sekcji Rozwiązany trójkąt: długości boków, kąty w stopniach i radianach, pole, obwód, wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego. Sprawdź sekcję Wykorzystane dane, aby zobaczyć, które wpisy wyznaczyły wynik.
Co mówi o trójkącie rozwiązany wynik
Trójkąt prostokątny ma jeden kąt 90°. Jego przyprostokątne przecinają się przy tym kącie, a przeciwprostokątna leży naprzeciw niego. Kąty ostre α i β sumują się do 90°. Dwa odpowiednie elementy, z których co najmniej jeden jest bokiem, wyznaczają zwykle zarówno kształt, jak i rozmiar trójkąta. Same dwa kąty określają kształt, ale nie pozwalają obliczyć długości boków.
Przeciwprostokątną można wyznaczyć z obu przyprostokątnych za pomocą równości \(a^2+b^2=c^2\). Jeśli znana jest przyprostokątna i kąt ostry, łączą je z pozostałymi bokami stosunki trygonometryczne, na przykład \(\tan\alpha=a/b\) oraz \(\sin\alpha=a/c\). Jeśli chcesz obliczyć tylko te zależności, skorzystaj z Kalkulatora twierdzenia Pitagorasa albo Kalkulatora trygonometrii.
Pole jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych, ponieważ pełnią one rolę prostopadłej podstawy i wysokości. Pokazana w wyniku wysokość opuszczona na przeciwprostokątną to inna wysokość: biegnie od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej. Promień okręgu wpisanego to promień okręgu stycznego do wszystkich trzech boków, a promień okręgu opisanego to promień okręgu przechodzącego przez wszystkie trzy wierzchołki. W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest zawsze równy połowie przeciwprostokątnej. Jeśli potrzebujesz pola wyznaczonego z innych danych trójkąta, użyj Kalkulatora pola trójkąta.
Zasady wpisywania danych i praktyczne ograniczenia
Wpisuj wyłącznie dodatnie, skończone wartości. Każdy kąt ostry musi być większy od 0° i mniejszy od 90°, a przeciwprostokątna musi być dłuższa niż każda ze znanych przyprostokątnych. Bok połączony z polem lub obwodem musi ponadto opisywać trójkąt prostokątny, który może istnieć; kalkulator zgłosi błąd, jeśli tak nie jest.
Kalkulator używa tylko dwóch wpisanych wartości. Bierze pierwsze dwa dostępne boki w kolejności: przyprostokątna a, przyprostokątna b, przeciwprostokątna c. Gdy wpisano tylko jeden bok, łączy go z pierwszą dostępną wartością w kolejności: kąt α, kąt β, pole, obwód. Pozostałe wpisy są pomijane, a nie sprawdzane pod kątem spójności, dlatego usuń zbędne dane i zajrzyj do sekcji Wykorzystane dane.
Przeciwprostokątna połączona z polem lub obwodem może dopuszczać dwa przypisania etykiet temu samemu kształtowi: zamiana przyprostokątnych a i b zamienia również kąty α i β. Wynik i rysunek w skali pokazują wersję z \(a\leq b\); notatka pod Wykorzystane dane wskazuje, kiedy możliwe jest również zamienione przypisanie. Rysunek jest przeskalowany tak, aby pokazać proporcje, a nie rzeczywiste wymiary na ekranie.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć brakującą przyprostokątną, jeśli znam przeciwprostokątną i drugą przyprostokątną?
Odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej, a następnie wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Dla przeciwprostokątnej 13 i przyprostokątnej 5 brakująca przyprostokątna wynosi \(\sqrt{13^2-5^2}=12\). Jeśli znana przyprostokątna jest równa przeciwprostokątnej lub od niej dłuższa, takie dane nie mogą tworzyć trójkąta prostokątnego.
Jak rozwiązać trójkąt prostokątny ręcznie, znając jeden bok i jeden kąt?
Wybierz odpowiedni stosunek trygonometryczny w zależności od tego, gdzie leży znany bok względem kąta. Na przykład gdy przeciwprostokątna ma 10, a kąt ostry 30°, przyprostokątna naprzeciw tego kąta wynosi \(10\sin 30^\circ=5\), a przyprostokątna do niego przyległa \(10\cos 30^\circ\approx8.66\). Jeśli kąt podano w stopniach, ustaw kalkulator w tryb stopni.
Jak sprawdzić, czy trzy zmierzone boki tworzą trójkąt prostokątny?
Wyznacz najdłuższy bok i porównaj jego kwadrat z sumą kwadratów dwóch pozostałych boków. Długości 6, 8 i 10 spełniają warunek, ponieważ \(6^2+8^2=10^2\). Rzeczywiste pomiary mogą się nieznacznie różnić z powodu zaokrągleń lub błędów pomiaru, dlatego przybliżona zgodność nie dowodzi istnienia dokładnego kąta prostego.
Co jest szczególnego w trójkącie prostokątnym o kątach 45, 45 i 90 stopni?
Jego przyprostokątne są równe, więc każdy kąt ostry ma 45°, a przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od przyprostokątnej. Dla przyprostokątnych o długości 7 przeciwprostokątna wynosi \(7\sqrt{2}\approx9.90\). Jest to także trójkąt prostokątny o największym możliwym polu przy ustalonej długości przeciwprostokątnej; wydłużenie jednej przyprostokątnej kosztem drugiej zmniejsza pole.
Czy mogę podać jeden bok w centymetrach, a drugi w metrach?
Przed obliczeniem przelicz wszystkie długości na jedną jednostkę. Na przykład 50 cm i 1 m wpisz jako 50 cm i 100 cm albo jako 0,5 m i 1 m. Pole wyraża się w jednostce kwadratowej: \(10{,}000\text{ cm}^2=1\text{ m}^2\). Kąty podaje się w stopniach; aby zamienić radiany na stopnie, pomnóż je przez \(180/\pi\).
Dlaczego trójkąt z bardzo małym kątem może dać nieoczekiwany wynik?
Bardzo mały kąt ostry tworzy smukły trójkąt, w którym jedna przyprostokątna może być maleńka w porównaniu z drugą. Niewielkie zaokrąglenia kąta albo boku mogą wtedy wyraźnie zmienić tę krótką przyprostokątną. Korzystaj z najdokładniejszych danych, jakimi dysponujesz, i nie zaokrąglaj wyników pośrednich. Kąt równy dokładnie 0° lub 90° nie tworzy trójkąta prostokątnego, lecz figurę zdegenerowaną.
Czy pole jest ograniczone, jeśli znam tylko przeciwprostokątną?
Tak. Przy przeciwprostokątnej o długości \(c\) pole nie może przekroczyć \(c^2/4\). Równość występuje, gdy obie przyprostokątne są równe. Na przykład przeciwprostokątna o długości 10 pozwala uzyskać pole najwyżej 25 jednostek kwadratowych. Mniejsze dodatnie pole wyznacza długości przyprostokątnych, choć etykietę \(a\) można nadać dowolnej z nich.