Binom Dağılımı Hesaplama Aracı

Q: Binom olasılığını hesaplama aracı olmadan elle nasıl hesaplarım?

P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k formülünü kullanın. Önce binom katsayısını hesaplayın, örneğin binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Ardından p^k ve (1-p)^n-k ile çarpın. Küçük n değerleri için tüm sonuçları da listeleyebilirsiniz, ancak faktöriyel değerleri son derece hızlı büyüdüğünden yaklaşık n = 20 'nin ötesinde elle hesaplama pratik olmaktan çıkar.

Q: "En az", "en fazla" ve "tam olarak" k başarı arasındaki fark nedir?

"Tam olarak" tek bir olasılıktır: P(X = k) . "En fazla" k veya daha azı demektir: P(X ≤ k) . "En az" k veya fazlası demektir: P(X ≥ k) . Sık yapılan bir hata "en az k " ile " k 'dan fazla"yı karıştırmaktır — ilki k 'nın kendisini içerir, ikincisi P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) 'dır. Sonuçlardaki yorumlama bölümü her iki sürümü de gösterir.

Q: Oranları veya "N'de 1" şansları p olasılığına nasıl dönüştürürüm?

Hesaplama aracı p'yi yüzde olarak bekler. "a'ya b" oranınız varsa p = a/(a+b) ile dönüştürün ve 100 ile çarpın. "6'da 1" şansı (zar atışı gibi) p ≈ 16.67% demektir; "100'de 1" içinse 1 girin. Ondalık olasılıklar doğrudan dönüşür: 0.35, %35'e eşittir.

Q: Binom dağılımını Poisson, normal veya hipergeometrik yerine ne zaman kullanmalıyım?

Deneme sayısı sabit ve sonuçlar sabit bir p ile bağımsız olduğunda binom kullanın. Küçük bir popülasyondan geri koymadan örnekleme yapıldığında (örneğin kart çekme) hipergeometrik dağılımı kullanın. Sabit deneme sayısı yerine sabit bir aralıkta olayları sayarken Poisson kullanın. Normal dağılım bir yaklaşımdır; np ve n(1-p) her ikisi de 5'in üzerinde olduğunda doğrudur.

Q: Ortalama olan np bana ne söyler ve gerçek sonuç bundan uzak olabilir mi?

Ortalama μ = np , çok sayıda tekrar üzerinden beklenen ortalama başarı sayısıdır — tek bir deney için bir tahmin değildir. Tek tek sonuçlar genellikle μ ± 2σ aralığına düşer (kabaca %95 zaman), burada σ = √(np(1-p)) 'dir. Örneğin n = 100 , p = 0.5 için: yaklaşık 50 başarı beklenir, genellikle 40 ile 60 arasında.

Güncellendi: 3 Ekim 2026

Binom olasılıklarını hesaplayın: P(X = k), kümülatif P(X ≤ k), P(X ≥ k) veya bir başarı aralığı. Deneme sayısını, başarı olasılığını ve k değerini girerek ortalama, varyans ve standart sapmayı da elde edin.

Binom Olasılıklarını Hesaplayın

Binom Dağılımı Formülü

Formül

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Buradaki gösterimler:

\(n\) — bağımsız deneme sayısı
\(p\) — tek bir denemede başarı olasılığı (0 ile 1 arasında)
\(k\) — ilgilenilen başarı sayısı (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — binom katsayısı, \(n\) deneme arasından \(k\) başarı seçme yollarının sayısı
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — dağılımın ortalaması, varyansı ve standart sapması

İlk formül olasılık kütle fonksiyonunu (pmf) verir: \(n\) denemede tam olarak \(k\) başarı elde etme şansı. İkincisi kümülatif dağılım fonksiyonunu (cdf) verir; yani en fazla \(k\) başarı elde etme şansı, pmf'nin 0'dan \(k\)'ya toplanmasıyla bulunur.

Binom Dağılımı – Hesaplama Örneği

Örnek: adil bir para 10 kez atılıyor. Tam olarak 5 kez yazı gelme olasılığı nedir? Burada \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Sonuç: P(X = 5) = 0.246094 (%24,61), P(X ≤ 5) = 0.623047 (%62,30), P(X ≥ 5) = 0.623047 (%62,30), ortalama = 5, varyans = 2.5, standart sapma ≈ 1.5811.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Deneme sayısını (n) girin — 1 ile 10.000 arasında bir tam sayı.
Başarı olasılığını (p) %0 ile %100 arasında bir yüzde olarak girin (örneğin adil bir para için 50 girin).
İlgilenilen başarılar altında modu seçin: tek bir değer için “Tam olarak k başarı”, bir aralık için “k₁ ile k₂ arası başarı”.
Başarı sayısını (k) girin. Aralık modunda bu, alt sınır olan k₁'dir.
Aralık modunu seçtiyseniz ayrıca en az k₁ olması gereken Üst sınırı (k₂) girin.
Sonuçları okuyun: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) ve aralık modunda P(k₁ ≤ X ≤ k₂), ayrıca ortalama, varyans ve standart sapma. Yorumlama bölümünde P(X < k) ve P(X > k) gibi tamamlayıcı olasılıklar da listelenir.

Binom dağılımı nedir?

Binom dağılımı, her denemenin aynı başarı olasılığına \(p\) sahip olduğu, sabit sayıda bağımsız denemedeki başarı sayısını modeller. Her denemenin tam olarak iki sonucu vardır — başarı veya başarısızlık — bu yüzden buna Bernoulli denemesi denir. Klasik örnekler arasında bir dizi para atışında yazı gelme sayısı, bir örnekteki hatalı ürün sayısı veya bir tedaviye yanıt veren hasta sayısı yer alır.

Dağılımın ortalaması \(\mu = np\)'dir: ortalama olarak \(n \cdot p\) başarı beklenir. Yayılım, varyans \(\sigma^2 = np(1-p)\) ve standart sapma \(\sigma\) ile ölçülür. \(p = 0.5\) olduğunda dağılım \(n/2\) etrafında simetriktir; \(p\) 0'a veya 1'e yakın olduğunda ise çarpıklaşır ve 0 civarında ya da \(n\) civarında yığılır.

Hesaplama aracı kesin ve kümülatif olasılıkları birbirinden ayırır. Olasılık kütle fonksiyonu “tam olarak k başarı şansı nedir” sorusunu, kümülatif dağılım fonksiyonu ise “en fazla k başarı şansı nedir” sorusunu yanıtlar. Kümülatif değerler pratikte çoğu zaman daha kullanışlıdır: örneğin k bir kalite eşiğiyse, P(X ≤ k) sınır içinde kalma olasılığını, 1 − P(X ≤ k) ise sınırı aşma olasılığını verir. P(X ≥ k)'nın k'nın kendisini de içerdiğini unutmayın; kesin olarak k'dan fazlasına ihtiyacınız varsa, yorumlama bölümünde gösterilen P(X > k) = 1 − P(X ≤ k) değerini kullanın.

Varsayımlar, sınırlamalar ve ipuçları

Sabit deneme sayısı. \(n\) önceden belirlenmiş olmalıdır. Deneme sayısının kendisi rastgelese, farklı bir model (örneğin Poisson dağılımı) daha uygundur.
Bağımsızlık. Bir denemenin sonucu diğerini etkilememelidir. Küçük bir popülasyondan geri koymadan örnekleme bunu ihlal eder; bunun yerine hipergeometrik dağılımı kullanın.
Sabit başarı olasılığı. \(p\) her deneme için aynı olmalıdır. Denemeden denemeye değişiyorsa binom model artık geçerli değildir.
Büyük n. Hesaplama aracı sayısal olarak kararlı bir log-gamma yöntemi kullanır, bu nedenle büyük \(n\) değerlerini (10.000'e kadar) taşma olmadan işler. Çok küçük olasılıklar için sonuç bilimsel gösterimle gösterilir.
Çok küçük olasılıkların yorumlanması. “≈ %0” gibi bir sonuç imkânsız olduğu anlamına gelmez — yalnızca olasılığın yaklaşık \(10^{-8}\)'den küçük olabileceği anlamına gelir. Yüzdenin yanında gösterilen ondalık değeri kontrol edin.
Yaklaşım için pratik kural. \(np\) ve \(n(1-p)\)'nin her ikisinin de yaklaşık 5'ten büyük olduğu büyük \(n\) değerlerinde, binom dağılımı ortalaması \(np\) ve standart sapması \(\sqrt{np(1-p)}\) olan bir normal dağılımla iyi bir şekilde yaklaşılabilir — hızlı zihinsel tahminler için kullanışlıdır.

Sıkça Sorulan Sorular

Binom olasılığını hesaplama aracı olmadan elle nasıl hesaplarım?

\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \) formülünü kullanın. Önce binom katsayısını hesaplayın, örneğin \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Ardından \( p^k \) ve \( (1-p)^{n-k} \) ile çarpın. Küçük \( n\) değerleri için tüm sonuçları da listeleyebilirsiniz, ancak faktöriyel değerleri son derece hızlı büyüdüğünden yaklaşık \( n = 20 \)'nin ötesinde elle hesaplama pratik olmaktan çıkar.

"En az", "en fazla" ve "tam olarak" k başarı arasındaki fark nedir?

"Tam olarak" tek bir olasılıktır: \( P(X = k) \). "En fazla" \( k \) veya daha azı demektir: \( P(X \le k) \). "En az" \( k \) veya fazlası demektir: \( P(X \ge k) \). Sık yapılan bir hata "en az \( k \)" ile "\( k \)'dan fazla"yı karıştırmaktır — ilki \( k \)'nın kendisini içerir, ikincisi \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \)'dır. Sonuçlardaki yorumlama bölümü her iki sürümü de gösterir.

Oranları veya "N'de 1" şansları p olasılığına nasıl dönüştürürüm?

Hesaplama aracı \( p\)'yi yüzde olarak bekler. "a'ya b" oranınız varsa \( p = \frac{a}{a+b} \) ile dönüştürün ve 100 ile çarpın. "6'da 1" şansı (zar atışı gibi) \( p \approx 16.67\% \) demektir; "100'de 1" içinse 1 girin. Ondalık olasılıklar doğrudan dönüşür: 0.35, %35'e eşittir.

Örneğin 3 ile 7 başarı arası gibi bir aralığın olasılığını nasıl bulurum?

"k₁ ile k₂ arası başarı" modunu seçin, başarı sayısı olarak 3 ve üst sınır olarak 7 girin. Hesaplama aracı \( P(k_1 \le X \le k_2) \) değerini tek tek olasılıkları toplayarak hesaplar. Elle aynı sonuç \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \) ile bulunur. Her iki sınır da dahildir, dolayısıyla 3–7 aralığı 3, 4, 5, 6 ve 7 başarılarını kapsar.

Binom dağılımını Poisson, normal veya hipergeometrik yerine ne zaman kullanmalıyım?

Deneme sayısı sabit ve sonuçlar sabit bir \( p\) ile bağımsız olduğunda binom kullanın. Küçük bir popülasyondan geri koymadan örnekleme yapıldığında (örneğin kart çekme) hipergeometrik dağılımı kullanın. Sabit deneme sayısı yerine sabit bir aralıkta olayları sayarken Poisson kullanın. Normal dağılım bir yaklaşımdır; \( np \) ve \( n(1-p) \) her ikisi de 5'in üzerinde olduğunda doğrudur.

Ortalama olan np bana ne söyler ve gerçek sonuç bundan uzak olabilir mi?

Ortalama \( \mu = np \), çok sayıda tekrar üzerinden beklenen ortalama başarı sayısıdır — tek bir deney için bir tahmin değildir. Tek tek sonuçlar genellikle \( \mu \pm 2\sigma \) aralığına düşer (kabaca %95 zaman), burada \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \)'dir. Örneğin \( n = 100 \), \( p = 0.5\) için: yaklaşık 50 başarı beklenir, genellikle 40 ile 60 arasında.

Sonucum neden "≈ %0" olarak gösteriliyor — bu sonuç gerçekten imkânsız mı?

Hayır, imkânsız değildir. "≈ %0" yalnızca olasılığın yaklaşık \( 10^{-8} \)'den küçük olduğu anlamına gelir. Yüzdenin yanında gösterilen ondalık değeri kontrol edin — çok küçük olasılıklar \( 2.5 \times 10^{-12} \) gibi bilimsel gösterimle görünür. Büyük \( n\) değerlerinde, ortalama \( np\)'den uzak değerler astronomik derecede düşük olasılıklı olsa da matematiksel olarak hâlâ mümkündür.