Калькулятор гамма-розподілу

Q: Як обчислити ймовірності гамма-розподілу вручну?

Спочатку нормуйте своє значення: обчисліть x/θ. Для функції розподілу потрібна регуляризована неповна гамма-функція P(k, x/θ), яку зазвичай знаходять за таблицями або в програмах. Якщо k — ціле число, обчислення можна виконати вручну за скінченною сумою F(x) = 1 - e^-x/θsum_j=0^k-1 (x/θ)^j / j!. Щільність обчислюється просто: підставте значення у формулу f(x) = x^k-1 e^-x/θ / (Gamma(k)θ^k).

Q: Моя програма видає параметр інтенсивності — як перевести його в масштаб θ?

Інтенсивність β — це просто обернений масштаб: β = 1/θ, тобто θ = 1/β. Функції GAMMA.DIST (Excel), scipy.stats.gamma (Python) і pgamma (R) за замовчуванням працюють у параметризації інтенсивністю. Наприклад, розподіл Gamma(shape 2, rate 0.5) — це те саме, що форма k = 2 з масштабом θ = 2: введіть 2 у поле «Параметр масштабу» тут. Плутанина між цими двома параметризаціями — найпоширеніша причина хибних відповідей.

Q: Як знайти k і θ, якщо відомі лише середнє та дисперсія?

Скористайтеся формулами моментів μ = kθ і σ^2 = kθ^2. Розв’язавши їх, отримаєте k = μ^2/σ^2 і θ = σ^2/μ. Скажімо, якщо час очікування в середньому становить 10 годин за дисперсії 50, то k = 100/50 = 2 і θ = 50/10 = 5. Така оцінка методом моментів — добра стартова точка; якщо потрібна вища точність, підберіть параметри методом максимальної правдоподібності в спеціалізованому статистичному програмному забезпеченні.

Q: Чим відрізняються гамма-розподіл, експоненціальний розподіл, розподіл Ерланга та розподіл хі-квадрат?

Усе це одна родина. Експоненціальний розподіл — окремий випадок з k = 1. Розподіл Ерланга — це гамма-розподіл із цілим k; він описує час очікування до k-ї події в пуассонівському процесі. Розподіл хі-квадрат з n ступенями вільності дорівнює гамма-розподілу з k = n/2 і θ = 2. Отже, будь-яка ймовірність, обчислена тут для цих окремих випадків, збігатиметься з відповідною таблицею експоненціального, ерлангівського чи хі-квадрат розподілу.

Q: Чому калькулятор повертає моду 0, коли k менше за 1?

Формула моди (k-1)θ має сенс лише за k ≥ 1. Якщо k < 1, показник k - 1 від’ємний, тому щільність необмежено зростає в міру наближення x до нуля — скінченного піку не існує. Найбільш «ймовірна» область лежить довільно близько до 0, саме тому калькулятор повертає 0. Це математично коректно, і такі форми справді трапляються на практиці — наприклад, при моделюванні сильно сплескових страхових виплат або опадів.

Q: Чи можна цим калькулятором знаходити перцентилі, чи потрібна обернена функція розподілу?

Калькулятор обчислює функцію розподілу F(x), а не обернену до неї, тому він не може одразу повернути значення за заданим перцентилем. Проте перцентиль можна знайти підбором: вводьте пробні значення x і коригуйте їх, доки накопичена ймовірність не досягне потрібної — наприклад, 0,5 для медіани. Добра початкова оцінка медіани — приблизно kθ(1 - 1/(3k))^3, наближення Вілсона–Хілферті; воно точне до близько 1% за k > 1.

Оновлено: 08.10.2026

Обчислюйте щільність гамма-розподілу, накопичену ймовірність, ймовірність хвоста, ймовірність інтервалу, а також математичне сподівання, дисперсію і моду. Введіть параметр форми k, масштаб θ і значення або інтервал.

Обчислення ймовірностей, густини та моментів гамма-розподілу

Параметр форми

Форма k визначає вигляд кривої: при k = 1 отримуємо експоненційний розподіл, а при цілому k — розподіл Ерланга (час очікування до k-ї події).

Параметр масштабу

Масштаб θ у тих самих одиницях, що й x. Має бути більшим за 0.

Що обчислити

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Результати гамма-розподілу

Густина в точці xf(x)

Накопичена ймовірність P(X ≤ x)F(x)

Ймовірність верхнього хвоста P(X > x)S(x)

Ймовірність на інтервалі P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Середнє значення

Дисперсія

Мода (найімовірніше значення)

Як це працює та інтерпретація

Формула гамма-розподілу

Формула

\[ f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k}, \qquad F(x) = P\!\left(k, \frac{x}{\theta}\right), \quad x \ge 0 \\ \mu = k\theta, \qquad \sigma^2 = k\theta^2, \qquad \text{мода} = (k-1)\theta \ \text{при } k \ge 1 \]

Де:

\(k\) — параметр форми, \(k > 0\); визначає вигляд кривої
\(\theta\) — параметр масштабу, \(\theta > 0\), у тих самих одиницях, що й \(x\)
\(\Gamma(k)\) — гамма-функція, узагальнення факторіала (\(\Gamma(n) = (n-1)!\) для цілих чисел)
\(P(k, x/\theta)\) — регуляризована нижня неповна гамма-функція, яка задає функцію розподілу

Перша формула визначає щільність ймовірності та функцію розподілу гамма-розподілу в параметризації масштабом; друга дає його математичне сподівання, дисперсію і моду. Ймовірність потрапляння в інтервал обчислюється так: \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).

Гамма-розподіл — приклад обчислення

Приклад: час очікування в системі має гамма-розподіл з параметром форми \(k = 2\) і масштабом \(\theta = 3\) години. Знайдемо щільність, накопичену ймовірність і ймовірність правого хвоста в точці \(x = 4\) години.

\[ f(4) = \frac{4^{1} e^{-4/3}}{\Gamma(2)\cdot 3^2} = \frac{4 \cdot 0.2636}{1 \cdot 9} \approx 0.1172 \]

Оскільки \(k\) — ціле число, функцію розподілу можна записати в явному вигляді \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\left(1 + x/\theta\right)\):

\[ F(4) = 1 - e^{-4/3}\left(1 + \tfrac{4}{3}\right) = 1 - 0.2636 \cdot 2.3333 \approx 0.3849 \]

\[ P(X > 4) = 1 - F(4) \approx 0.6151 \]

Результат: \(f(4) \approx 0.1172\) на одиницю, \(P(X \le 4) \approx 0.3849\) (38,49%), \(P(X > 4) \approx 0.6151\) (61,51%). Математичне сподівання дорівнює \(k\theta = 6\) годин, дисперсія \(k\theta^2 = 18\), а мода \((k-1)\theta = 3\) години.

Як користуватися калькулятором

Введіть параметр форми \(k\). Він має бути додатним; \(k = 1\) дає експоненціальний розподіл, а ціле \(k\) — розподіл Ерланга.
Введіть параметр масштабу \(\theta\) — додатне число в тих самих одиницях, що й ваші дані.
Виберіть, що обчислити: «Для одного значення x» або «Для інтервалу [a, b]».
Для одного значення введіть значення \(x \ge 0\). Калькулятор поверне щільність, накопичену ймовірність \(P(X \le x)\), імовірність правого хвоста \(P(X > x)\), а також математичне сподівання, дисперсію і моду.
Для інтервалу введіть нижню межу \(a\) і верхню межу \(b\) (за умови \(b > a\)). Ви отримаєте \(P(a \le X \le b)\), а також щільності та накопичені ймовірності на обох кінцях інтервалу.
Зазирніть у панель «Як це працює та інтерпретація» — там простими словами пояснюється, що означають ваші числа.

Що таке гамма-розподіл?

Гамма-розподіл — це неперервний розподіл імовірностей для додатних величин: часів очікування, сум страхових виплат, обсягів опадів, строків служби. Він має два параметри: форму \(k\), яка визначає загальний вигляд кривої, і масштаб \(\theta\), який розтягує або стискає її вздовж осі x. У результаті виходить надзвичайно гнучке сімейство розподілів: за малого \(k\) щільність сильно скошена вправо з піком біля нуля, а за великого \(k\) стає майже симетричною і дзвоноподібною.

Цей розподіл має природну інтерпретацію як час очікування. Якщо події відбуваються випадково з постійною середньою інтенсивністю (пуассонівський процес), загальний час до \(k\)-ї події має гамма-розподіл з формою \(k\) і масштабом \(\theta\), що дорівнює середньому часу між подіями. За \(k = 1\) він зводиться до експоненціального розподілу (очікування однієї події), а з цілим \(k\) його називають розподілом Ерланга.

Тлумачити результати нескладно. Щільність \(f(x)\) показує, наскільки ймовірні значення поблизу \(x\), в розрахунку на одиницю вимірювання. Накопичена ймовірність \(F(x)\) — це шанс отримати значення не більше за \(x\), а правий хвіст \(S(x) = 1 - F(x)\) — шанс перевищити \(x\); саме ця величина найчастіше цікавить у задачах надійності та теорії черг. Математичне сподівання \(k\theta\) — це очікуване значення, дисперсія \(k\theta^2\) міряє розкид, а мода \((k-1)\theta\) — найімовірніше значення. Через праву асиметрію мода завжди лежить нижче за середнє.

Параметризація, припущення та практичні поради

Масштаб чи інтенсивність: цей калькулятор використовує масштаб \(\theta\). Багато підручників і програм натомість застосовують інтенсивність \(\beta = 1/\theta\). Якщо у вашому джерелі вказано інтенсивність, уведіть \(\theta = 1/\beta\) у поле «Параметр масштабу». За фіксованого \(k\) більший \(\theta\) розтягує розподіл (більші значення), а більша інтенсивність стискає його.
Область визначення: гамма-розподіл визначено лише для \(x \ge 0\). Від’ємні значення не приймаються; вводьте нуль або додатні числа.
Мода за малого k: формула моди \((k-1)\theta\) має сенс лише за \(k \ge 1\). Якщо \(k < 1\), щільність необмежено зростає поблизу нуля, тому калькулятор повертає моду 0.
Нормальне наближення: за великих \(k\) (приблизно \(k > 30\)) гамма-розподіл добре апроксимується нормальним розподілом з математичним сподіванням \(k\theta\) і дисперсією \(k\theta^2\).
Вибір параметрів: якщо вам відомі потрібне середнє \(\mu\) і дисперсія \(\sigma^2\), оцініть \(k = \mu^2/\sigma^2\) і \(\theta = \sigma^2/\mu\). Далі параметри можна уточнити, зіставляючи їх з накопиченими ймовірностями, які ви спостерігаєте.
Пов’язані моделі: гамма-розподіл — поширена альтернатива розподілу Вейбулла і логнормальному розподілу для моделювання додатних даних із правою асиметрією, як-от строки служби чи розміри виплат; ці три розподіли різняться передусім формою хвостів.

Часті запитання

Як обчислити ймовірності гамма-розподілу вручну?

Спочатку нормуйте своє значення: обчисліть \(x/\theta\). Для функції розподілу потрібна регуляризована неповна гамма-функція \(P(k, x/\theta)\), яку зазвичай знаходять за таблицями або в програмах. Якщо \(k\) — ціле число, обчислення можна виконати вручну за скінченною сумою \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\sum_{j=0}^{k-1} (x/\theta)^j / j!\). Щільність обчислюється просто: підставте значення у формулу \(f(x) = x^{k-1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(k)\theta^k)\).

Моя програма видає параметр інтенсивності — як перевести його в масштаб θ?

Інтенсивність \(\beta\) — це просто обернений масштаб: \(\beta = 1/\theta\), тобто \(\theta = 1/\beta\). Функції GAMMA.DIST (Excel), scipy.stats.gamma (Python) і pgamma (R) за замовчуванням працюють у параметризації інтенсивністю. Наприклад, розподіл Gamma(shape 2, rate 0.5) — це те саме, що форма \(k = 2\) з масштабом \(\theta = 2\): введіть 2 у поле «Параметр масштабу» тут. Плутанина між цими двома параметризаціями — найпоширеніша причина хибних відповідей.

Яке значення параметра форми k вважати хорошим чи типовим?

Універсального «хорошого» значення не існує — усе залежить від ваших даних. Малі \(k < 1\) дають щільність із різким піком біля нуля (сильна асиметрія, наприклад, сплескові процеси страхових виплат). \(k = 1\) — це експоненціальний розподіл, а ціле \(k\) — модель Ерланга для часів очікування. Коли \(k\) перевищує 30, розподіл стає майже симетричним і дзвоноподібним. Оцініть \(k\) за даними так: \(k \approx \mu^2/\sigma^2\), де \(\mu\) і \(\sigma^2\) — вибіркові середнє та дисперсія.

Як знайти k і θ, якщо відомі лише середнє та дисперсія?

Скористайтеся формулами моментів \(\mu = k\theta\) і \(\sigma^2 = k\theta^2\). Розв’язавши їх, отримаєте \(k = \mu^2/\sigma^2\) і \(\theta = \sigma^2/\mu\). Скажімо, якщо час очікування в середньому становить 10 годин за дисперсії 50, то \(k = 100/50 = 2\) і \(\theta = 50/10 = 5\). Така оцінка методом моментів — добра стартова точка; якщо потрібна вища точність, підберіть параметри методом максимальної правдоподібності в спеціалізованому статистичному програмному забезпеченні.

Чим відрізняються гамма-розподіл, експоненціальний розподіл, розподіл Ерланга та розподіл хі-квадрат?

Усе це одна родина. Експоненціальний розподіл — окремий випадок з \(k = 1\). Розподіл Ерланга — це гамма-розподіл із цілим \(k\); він описує час очікування до \(k\)-ї події в пуассонівському процесі. Розподіл хі-квадрат з \(n\) ступенями вільності дорівнює гамма-розподілу з \(k = n/2\) і \(\theta = 2\). Отже, будь-яка ймовірність, обчислена тут для цих окремих випадків, збігатиметься з відповідною таблицею експоненціального, ерлангівського чи хі-квадрат розподілу.

Чому калькулятор повертає моду 0, коли k менше за 1?

Формула моди \((k-1)\theta\) має сенс лише за \(k \ge 1\). Якщо \(k < 1\), показник \(k - 1\) від’ємний, тому щільність необмежено зростає в міру наближення \(x\) до нуля — скінченного піку не існує. Найбільш «ймовірна» область лежить довільно близько до 0, саме тому калькулятор повертає 0. Це математично коректно, і такі форми справді трапляються на практиці — наприклад, при моделюванні сильно сплескових страхових виплат або опадів.

Чи можна цим калькулятором знаходити перцентилі, чи потрібна обернена функція розподілу?

Калькулятор обчислює функцію розподілу \(F(x)\), а не обернену до неї, тому він не може одразу повернути значення за заданим перцентилем. Проте перцентиль можна знайти підбором: вводьте пробні значення \(x\) і коригуйте їх, доки накопичена ймовірність не досягне потрібної — наприклад, 0,5 для медіани. Добра початкова оцінка медіани — приблизно \(k\theta(1 - 1/(3k))^3\), наближення Вілсона–Хілферті; воно точне до близько 1% за \(k > 1\).