Калькулятор геометричного розподілу
Введіть ймовірність успіху p і номер спроби k, щоб отримати P(X = k), кумулятивну ймовірність, ймовірність «хвоста», середнє значення та дисперсію геометричного розподілу — часу очікування до першого успіху.
Ймовірність першого успіху на заданому випробуванні
Формула геометричного розподілу
Де:
- \(p\) — ймовірність успіху в окремій спробі (від 0 до 1);
- \(k\) — номер спроби, на якій настає перший успіх (\(k = 1, 2, 3, \ldots\));
- \(P(X = k)\) — ймовірність того, що перший успіх станеться саме на спробі \(k\);
- \(E(X)\), \(\mathrm{Var}(X)\) — середнє значення та дисперсія потрібної кількості спроб.
Геометричний розподіл описує кількість незалежних однакових спроб, необхідних до першого успіху: спершу \(k-1\) разів трапляється невдача, а потім — один успіх.
Геометричний розподіл — приклад обчислення
Приклад: продавець телефонує потенційним клієнтам, і кожен дзвінок має 20% шанс завершитися продажем. Яка ймовірність, що перший продаж станеться саме на п’ятому дзвінку, і які шанси досягти успіху до цього моменту чи взагалі не досягти?
\[ P(X = 5) = (1 - 0.2)^{5-1} \cdot 0.2 = 0.8^{4} \cdot 0.2 = 0.4096 \cdot 0.2 = 0.08192 \]
\[ P(X \le 5) = 1 - 0.8^{5} = 1 - 0.32768 = 0.67232 \]
\[ P(X > 5) = 0.8^{5} = 0.32768, \qquad E(X) = \frac{1}{0.2} = 5, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{0.8}{0.2^{2}} = 20 \]
Результат: ймовірність того, що перший продаж станеться саме на п’ятому дзвінку, становить приблизно 0,0819 (8,19%). Ймовірність хоча б одного продажу протягом перших п’яти дзвінків — 0,6723 (67,23%), тоді як очікування триватиме довше за п’ятий дзвінок зі ймовірністю 0,3277 (32,77%). У середньому потрібно 5 дзвінків, дисперсія — 20.
Як користуватися калькулятором
- Введіть Ймовірність успіху — шанс успіху в окремій спробі як число від 0 до 1 (наприклад, 0,2 для 20%).
- Введіть Номер спроби — спробу \(k\), на якій має статися перший успіх; це має бути ціле число, не менше за 1.
- Прочитайте результати: \(P(X = k)\) (перший успіх саме на спробі \(k\)), \(P(X \le k)\) (успіх на спробі \(k\) або раніше), \(P(X > k)\) (після спроби \(k\) очікування триває), а також середнє \(E(X)\) і дисперсію \(\mathrm{Var}(X)\).
- Загляньте в блок інтерпретації — там простими словами пояснюються результати, зокрема медіана очікування та властивість відсутності пам’яті.
Що таке геометричний розподіл?
Геометричний розподіл описує, скільки незалежних спроб потрібно, щоб отримати перший успіх, якщо кожна спроба має одну й ту саму ймовірність успіху \(p\). Він відповідає на запитання на кшталт: скільки разів потрібно підкинути монету, щоб випав перший «орел», скільки дзвінків зробити до першого продажу чи скільки деталей перевірити, перш ніж знайдеться перша бракована? Випадкова величина \(X\) — це номер спроби, на якій настає перший успіх, тому її носій — \(k = 1, 2, 3, \ldots\).
Ймовірності спадають геометрично — звідси й назва. Найімовірнішим результатом завжди є \(k = 1\) з ймовірністю \(p\), а кожна наступна спроба менш імовірна за попередню у \(1 - p\) разів. Це не означає, що пізніші спроби стають «гіршими» — просто дедалі менш імовірно пережити стільки невдач підряд.
Середнє \(E(X) = 1/p\) дає очікуваний час очікування: шанс успіху 20% означає в середньому близько 5 спроб. Дисперсія \((1-p)/p^2\) швидко зростає зі зменшенням \(p\), тож рідкісні події можуть вимагати довгого і дуже мінливого очікування. Кумулятивне значення \(P(X \le k)\) — часто найпрактичніший результат: наприклад, ймовірність отримати хоча б одне запрошення на співбесіду після \(k\) надісланих резюме.
Відома властивість цього розподілу — відсутність пам’яті: незалежно від того, скільки невдач ви вже пережили, ймовірність успіху в наступній спробі залишається рівно \(p\). Минулі невдачі нічого не кажуть про майбутнє — корисний, хоч часом неочевидний факт, коли йдеться про серії невдач.
Припущення, обмеження та поради
- Незалежність: результат однієї спроби не повинен впливати на інші. Карти, витягнуті без повернення, порушують цю умову — скористайтеся калькулятором гіпергеометричного розподілу.
- Стале p: ймовірність успіху має бути однаковою для кожної спроби. Якщо вона змінюється з часом, геометрична модель вже не застосовується.
- Лише перший успіх: цей калькулятор моделює очікування до першого успіху. Для ймовірності заданої кількості успіхів у заданій кількості спроб дивіться калькулятор біномного розподілу; для очікування до \(r\)-го успіху — калькулятор від’ємного біномного розподілу.
- Спосіб підрахунку: ця сторінка використовує стандартну угоду, за якою \(X\) — це номер спроби з першим успіхом (\(k = 1, 2, \ldots\)). Деякі підручники натомість рахують кількість невдач до першого успіху (\(k = 0, 1, 2, \ldots\)) — тоді всі результати зсуваються на одиницю.
- Неперервний аналог: якщо ви вимірюєте час очікування неперервно (наприклад, хвилини до події), а не рахуєте спроби, підійде калькулятор експоненціального розподілу.
Швидка довідка
Для ймовірності успіху \(p\) кілька корисних фактів:
| Величина | Формула | Приклад (p = 0,2) |
|---|---|---|
| Найімовірніша спроба (мода) | завжди 1 | 1 |
| Середнє очікування \(E(X)\) | \(1/p\) | 5 спроб |
| Медіана очікування | \(\lceil \ln(0.5)/\ln(1-p) \rceil\) | 4 спроби |
| Ймовірність чекати більше ніж \(k\) спроб | \((1-p)^k\) | \(0.8^5 \approx 32.8\%\) |
Через відсутність пам’яті \(P(X > k + j \mid X > j) = P(X > k)\): після будь-якої серії невдач решта очікування поводиться так само, як почати заново.
Часті запитання
Як обчислити геометричний розподіл вручну?
При ймовірності успіху \(p\) у кожній спробі ймовірність того, що перший успіх станеться саме на спробі \(k\), дорівнює \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p\). Обчисліть ймовірність невдачі \(q = 1 - p\), піднесіть її до степеня \(k - 1\) і помножте на \(p\). Наприклад, при \(p = 0.1\) і \(k = 3\): \(0.9^2 \times 0.1 = 0.081\), тобто шанс 8,1%.
Яке «добре» або типове значення очікуваного часу очікування?
Середнє очікування дорівнює \(E(X) = 1/p\), тож шанс успіху 10% означає в середньому близько 10 спроб, а 50% — 2 спроби. «Доброго» значення не існує — все залежить від вашого \(p\). Зауважте, що при малому \(p\) середнє може вводити в оману: дисперсія \((1-p)/p^2\) велика, тому реальні очікування часто значно коротші або значно довші за середнє.
Чому в підручниках для геометричного розподілу є дві різні формули?
Існують дві угоди. Перша рахує номер спроби з першим успіхом (носій \(k = 1, 2, 3, \ldots\)), з \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) і середнім \(1/p\) — саме її використовує цей калькулятор. Друга рахує кількість невдач до першого успіху (носій \(k = 0, 1, 2, \ldots\)), з \(P(X = k) = (1-p)^k p\) і середнім \((1-p)/p\). Порівнюючи відповіді, спершу з’ясуйте, яку угоду використовує ваш підручник.
Яка різниця між геометричним, біномним і від’ємним біномним розподілами?
Геометричний розподіл рахує кількість спроб до першого успіху. Біномний рахує кількість успіхів у заданій кількості спроб. Від’ємний біномний рахує кількість спроб до r-го успіху (геометричний — його окремий випадок при \(r = 1\)). Обирайте залежно від того, що ви рахуєте: час очікування (геометричний/від’ємний біномний) чи кількість успіхів (біномний).
Чи можна ввести ймовірність успіху у відсотках, наприклад 20 замість 0,2?
Ні — калькулятор очікує \(p\) як десятковий дріб від 0 до 1. Вводьте 0,2 для 20%, 0,05 для 5% і так далі. Якщо ввести 20, калькулятор відхилить значення як таке, що виходить за межі діапазону, адже ймовірність понад 1 неможлива. Щоб перевести відсоток у дріб, поділіть на 100 або перенесіть десяткову кому на два знаки ліворуч.
Чому спроба 1 завжди найімовірніша, навіть коли p мале?
Функція ймовірностей строго спадає: \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\) зменшується у \(1 - p\) разів з кожною наступною спробою, тому мода завжди \(k = 1\) з ймовірністю \(p\). Це не означає, що рання поява успіху ймовірна в абсолютному сенсі — при \(p = 0.01\) найімовірніша окрема спроба дає лише 1% шанс. Просто пережити багато невдач підряд стає дедалі менш імовірно.
Що станеться при p = 1 або p = 0?
При \(p = 1\) успіх гарантований уже в першій спробі: \(P(X = 1) = 1\), середнє 1, дисперсія 0. При \(p = 0\) успіх не настає ніколи, а очікування нескінченне — середнє \(1/p\) не визначене, тому калькулятор відхиляє \(p = 0\). На практиці, якщо ваше реальне \(p\) дорівнює нулю, подія неможлива і жодна ймовірнісна модель тут не застосовна.