Калькулятор прямокутного трикутника
Обчислює прямокутний трикутник за двома відомими величинами, серед яких мусить бути принаймні одна сторона. Введіть довжини сторін, гострий кут, площу чи периметр, щоб знайти решту вимірювань.
Розв’язання прямокутного трикутника за двома вимірами
Формула прямокутного трикутника
Позначення:
- \(a\) і \(b\) — катети, що лежать проти кутів \(\alpha\) і \(\beta\) відповідно
- \(c\) — гіпотенуза, сторона проти прямого кута
- \(A\) — площа; \(P\) — периметр
- \(h\) — висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи
- \(r\) — радіус вписаного кола; \(R\) — радіус описаного кола
Сторони та гострі кути визначаються за теоремою Піфагора і співвідношеннями тригонометрії. Коли трикутник розв’язано, його сторони визначають також площу, периметр, висоту та радіуси вписаного й описаного кіл.
Прямокутний трикутник — приклад обчислення
Приклад: типові значення — катет a = 3 і катет b = 4. Знайдімо решту величин.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Результат: сторони дорівнюють 3, 4 і 5 одиниць; гострі кути становлять приблизно 36,8699° і 53,1301°. Площа — 6 квадратних одиниць, периметр — 12 одиниць.
Як користуватися калькулятором
- Введіть дві відомі величини, серед яких має бути щонайменше одна сторона. Поля для сторін — Катет a, Катет b та Гіпотенуза c. Катет a лежить проти кута α, катет b — проти кута β.
- Для обчислення за стороною і кутом введіть сторону та Кут α або Кут β у градусах. Замість цього можна поєднати сторону з Площею або Периметром. Усі довжини вводьте в одних і тих самих одиницях, а площу — у відповідних квадратних одиницях.
- Якщо типові значення у полях Катет a і Катет b не входять до ваших відомих даних, очистіть їх. Поля, які ви не використовуєте, залиште порожніми.
- Сторони, кути в градусах і радіанах, площу, периметр, висоту на гіпотенузу, радіус вписаного та описаного кіл дивіться в блоці Розв’язаний трикутник. Щоб зрозуміти, які саме введені дані визначили результат, зверніться до Використаних величин.
Що показує розв’язаний трикутник
У прямокутному трикутнику один кут дорівнює 90°. Його утворюють два катети, а гіпотенуза лежить проти нього. Гострі кути α і β в сумі дають 90°. Дві підходящі величини, серед яких хоча б одна — сторона, зазвичай однозначно визначають і форму трикутника, і його розмір. Два кути самі по собі задають лише форму і не визначають довжин сторін.
Гіпотенузу за двома катетами знаходять із рівняння \(a^2+b^2=c^2\). Якщо відомі катет і гострий кут, тригонометричні співвідношення пов’язують їх з іншими сторонами: наприклад, \(\tan\alpha=a/b\) і \(\sin\alpha=a/c\). Щоб виконати окреме обчислення на основі цих залежностей, скористайтеся Калькулятором теореми Піфагора або Калькулятором тригонометрії.
Площа дорівнює половині добутку катетів, адже вони взаємно перпендикулярні і виконують роль основи та висоти. Наведена у результаті висота на гіпотенузу — це інша висота: вона проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи. Радіус вписаного кола — це радіус кола, що дотикається до всіх трьох сторін; радіус описаного кола — радіус кола, яке проходить через усі три вершини. У прямокутному трикутнику радіус описаного кола завжди дорівнює половині гіпотенузи. Якщо вам потрібна лише площа за іншим набором даних трикутника, використайте Калькулятор площі трикутника.
Правила введення та практичні обмеження
Вводьте додатні, скінченні величини. Кожен гострий кут має бути більшим за 0° і меншим за 90°, а гіпотенуза — довшою за кожен відомий катет. Сторона, поєднана з площею або периметром, також має describes реальний прямокутний трикутник; інакше калькулятор повідомить про помилку.
Калькулятор використовує лише дві введені величини. Він бере перші дві доступні сторони в такому порядку: Катет a, Катет b, Гіпотенуза c. Якщо введена лише одна сторона, її поєднують із першою доступною величиною в такому порядку: Кут α, Кут β, Площа, Периметр. Інші заповнені поля не перевіряються на узгодженість, а просто ігноруються, тому очищайте непотрібні поля та звіряйтеся з Використаними величинами.
Гіпотенуза в парі з площею або периметром може допускати два позначення однієї й тієї самої форми трикутника: перестановка катетів a і b місцями міняє й кути α і β. Результат і масштабований рисунок показують варіант, у якому \(a\leq b\); примітка під Використаними величинами вказує, коли можливе також протилежне позначення. Рисунок масштабовано, щоб показати пропорції, а не для вимірювання на екрані.
Часті запитання
Як знайти невідомий катет, якщо відомі гіпотенуза та другий катет?
Відніміть квадрат відомого катета від квадрата гіпотенузи й добудьте квадратний корінь. Якщо гіпотенуза дорівнює 13, а катет — 5, то невідомий катет становить \(\sqrt{13^2-5^2}=12\). Коли відомий катет такий самий довгий, як гіпотенуза, або довший за неї, такі величини не можуть утворити прямокутний трикутник.
Як розв’язати прямокутний трикутник вручну, знаючи одну сторону і один кут?
Виберіть тригонометричне співвідношення залежно від того, як сторона розташована відносно кута. Наприклад, якщо гіпотенуза дорівнює 10, а гострий кут — 30°, то протилежний катет становить \(10\sin 30^\circ=5\), а прилеглий катет — \(10\cos 30^\circ\approx8.66\). Якщо кут задано в градусах, установіть у калькуляторі відповідний режим обчислення кутів.
Як перевірити, чи утворюють три виміряні сторони прямокутний трикутник?
Визначте найдовшу сторону і порівняйте її квадрат із сумою квадратів двох інших сторін. Довжини 6, 8 і 10 проходять перевірку, бо \(6^2+8^2=10^2\). Реальні вимірювання можуть трохи відрізнятися через округлення або похибку вимірювання, тому приблизний збіг не доводить, що кут є точно прямим.
Чим особливий прямокутний трикутник 45-45-90?
Два його катети рівні, тому кожен гострий кут дорівнює 45°, а гіпотенуза в \(\sqrt{2}\) разів довша за кожен із катетів. Якщо катети мають довжину 7, гіпотенуза становить \(7\sqrt{2}\approx9.90\). Це також прямокутний трикутник із найбільш можливою площею при фіксованій гіпотенузі; якщо зробити один катет довшим за інший, площа зменшиться.
Чи можна вказати одну сторону в сантиметрах, а іншу — в метрах?
Перед обчисленням переведіть усі довжини в одні одиниці. Наприклад, 50 см і 1 м слід вводити як 50 см і 100 см або як 0,5 м і 1 м. Площа вимірюється в квадратних одиницях: \(10{,}000\text{ cm}^2=1\text{ m}^2\). Кути вводяться в градусах; щоб перевести радіани в градуси, помножте на \(180/\pi\).
Чому трикутник із дуже малим кутом може дати неочікуваний результат?
Дуже малий гострий кут утворює тонкий трикутник, у якому один катет може бути крихітним порівняно з іншим. Тоді незначні зміни кута або сторони через округлення помітно змінюють цей катет. Використовуйте найточніші наявні дані й не округлюйте проміжні обчислення. Кут, що дорівнює точно 0° або 90°, не утворює невиродженого прямокутного трикутника.
Чи існує обмеження площі, якщо відома лише гіпотенуза?
Так. За гіпотенузи довжиною \(c\) площа не може перевищувати \(c^2/4\). Рівність досягається, коли катети рівні. Наприклад, за гіпотенузи 10 площа не може бути більшою за 25 квадратних одиниць. Менша додатна площа однозначно визначає довжини катетів, хоча позначити катетом \(a\) можна будь-який із них.