Hardy-Weinberg-Gleichgewicht-Rechner
Geben Sie die beobachteten Anzahlen homozygot-dominanter, heterozygoter und homozygot-rezessiver Individuen ein, um Allelfrequenzen (p und q), erwartete Genotypfrequenzen und eine Chi-Quadrat-Statistik zu berechnen, mit der geprüft wird, ob sich die Population im Hardy-Weinberg-Gleichgewicht befindet.
Hardy-Weinberg-Frequenzen und Chi-Quadrat-Test
Formel des Hardy-Weinberg-Gleichgewichts
Wobei gilt:
- \(CH\) — Anzahl homozygot-dominanter Individuen (AA)
- \(H\) — Anzahl heterozygoter Individuen (Aa)
- \(RH\) — Anzahl homozygot-rezessiver Individuen (aa)
- \(N\) — Gesamtgröße der Population, \(N = CH + H + RH\)
- \(p\), \(q\) — Frequenzen der Allele A und a (\(p + q = 1\))
- \(E_{CH}\), \(E_H\), \(E_{RH}\) — unter Gleichgewicht erwartete Genotyp-Anzahlen
- \(\chi^2\) — Chi-Quadrat-Statistik, die die Abweichung vom Gleichgewicht misst
Die ersten beiden Gleichungen schätzen die Allelfrequenzen aus den Genotyp-Anzahlen (Heterozygote tragen je eine Kopie jedes Allels bei), die mittleren drei liefern die unter dem Hardy-Weinberg-Gleichgewicht erwarteten Genotyp-Anzahlen, und die letzte quantifiziert, wie weit die beobachteten Anzahlen von diesen Erwartungen abweichen.
Hardy-Weinberg-Gleichgewicht – Rechenbeispiel
Beispiel: eine Stichprobe von 100 Individuen enthält 50 homozygot-dominante (AA), 30 heterozygote (Aa) und 20 homozygot-rezessive (aa) Individuen.
\[ p = \frac{50 + 0.5 \cdot 30}{100} = 0.65, \qquad q = \frac{20 + 0.5 \cdot 30}{100} = 0.35 \]
\[ E_{CH} = 0.65^2 \cdot 100 = 42.25, \quad E_H = 2(0.65)(0.35) \cdot 100 = 45.5, \quad E_{RH} = 0.35^2 \cdot 100 = 12.25 \]
\[ \chi^2 = \frac{(50 - 42.25)^2}{42.25} + \frac{(30 - 45.5)^2}{45.5} + \frac{(20 - 12.25)^2}{12.25} \approx 11.61 \]
Ergebnis: \(p = 0.65\), \(q = 0.35\); erwartete Anzahlen 42,25 AA, 45,5 Aa, 12,25 aa; \(\chi^2 \approx 11.61\). Da 11,61 den kritischen Wert von 3,84 übersteigt (1 Freiheitsgrad, \(\alpha = 0.05\)), weicht die Population signifikant vom Hardy-Weinberg-Gleichgewicht ab — es besteht ein Heterozygoten-Defizit.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Anzahl homozygot-dominanter Individuen (Genotyp AA) in das erste Feld ein.
- Geben Sie die Anzahl heterozygoter Individuen (Genotyp Aa) in das zweite Feld ein.
- Geben Sie die Anzahl homozygot-rezessiver Individuen (Genotyp aa) in das dritte Feld ein.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Allelfrequenzen p und q, die erwarteten Anzahlen jedes Genotyps und die Chi-Quadrat-Statistik (χ²).
- Vergleichen Sie den Chi-Quadrat-Wert mit dem unten angegebenen kritischen Wert, um zu beurteilen, ob sich die Population im Gleichgewicht befindet.
Was ist das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht?
Das Hardy-Weinberg-Prinzip besagt, dass Allel- und Genotypfrequenzen in einer Population von Generation zu Generation konstant bleiben, wenn keine evolutionären Kräfte wirken. Für ein Gen mit zwei Allelen, A und a, mit den Frequenzen \(p\) und \(q\) (wobei \(p + q = 1\)), ergeben sich nach einer Generation zufälliger Paarung die Genotypfrequenzen \(p^2\) (AA), \(2pq\) (Aa) und \(q^2\) (aa). Diese Beziehung gilt nur unter idealen Bedingungen: keine Mutation, keine Migration, keine natürliche Selektion, unendlich große Population (keine Gendrift) und zufällige Paarung.
Da reale Populationen diese Bedingungen selten vollständig erfüllen, dient das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht als Nullmodell. Stimmen die beobachteten Genotyp-Anzahlen mit den erwarteten Proportionen \(p^2 : 2pq : q^2\) überein, gibt es keine Hinweise darauf, dass evolutionäre Kräfte auf diesen Lokus wirken. Stimmen sie nicht überein, weist die Abweichung auf eine oder mehrere verletzte Annahmen hin — Selektion, nicht-zufällige Paarung (Inzucht), Gendrift, Mutation, Migration oder Genotypisierungsfehler.
Der Chi-Quadrat-Anpassungstest quantifiziert die Diskrepanz zwischen beobachteten und erwarteten Anzahlen. Da die Allelfrequenzen aus denselben Daten geschätzt werden, hat der Test \(3 - 1 - 1 = 1\) Freiheitsgrade. Beim üblichen Signifikanzniveau von 0,05 beträgt der kritische Wert 3,84: Ein χ² unter 3,84 ist mit dem Gleichgewicht vereinbar, ein größerer Wert deutet auf eine signifikante Abweichung hin. Die Allelfrequenzen p und q bleiben auch dann nützliche Kennzahlen, wenn der Gleichgewichtstest verworfen wird.
Dieses Werkzeug wird in der Populationsgenetik, der Evolutionsbiologie und in Unterrichtsaufgaben häufig verwendet. Im Kontext der genetischen Beratung bilden Allelfrequenzen auch die Grundlage für die Schätzung des Überträger-Risikos — siehe den Rechner zur Vererbung der Blutgruppe, um zu sehen, wie Genotypkombinationen von den Eltern an die Nachkommen weitergegeben werden.
Interpretation des Chi-Quadrat-Ergebnisses
| Freiheitsgrade | Kritischer χ²-Wert (α = 0,05) |
|---|---|
| 1 | 3,841 |
| 2 | 5,991 |
Verwenden Sie für diesen Test 1 Freiheitsgrad, da eine Allelfrequenz aus den Daten geschätzt wird. Liegt Ihr χ²-Wert unter 3,841, akzeptieren Sie die Nullhypothese des Gleichgewichts; liegt er darüber, ist die Abweichung auf dem 5-%-Niveau statistisch signifikant.
Annahmen und Einschränkungen
- Der Rechner geht von einem einzigen autosomalen Lokus mit genau zwei Allelen und vollständiger Dominanz aus (AA und Aa sind phänotypisch von aa unterscheidbar, und die Genotypen können direkt gezählt werden, z. B. durch Gentests).
- Gleichgewicht erfordert zufällige Paarung, keine Selektion, keine Mutation, keine Migration und eine große Population. Ein signifikantes χ² zeigt an, dass mindestens eine dieser Annahmen nicht erfüllt ist — es sagt nicht, welche.
- Die Chi-Quadrat-Approximation ist unzuverlässig, wenn die erwarteten Anzahlen klein sind (als Faustregel: jedes \(E < 5\)). Kombinieren Sie in diesem Fall Genotypklassen oder erheben Sie eine größere Stichprobe.
- Genotypisierungsfehler, Stichprobenverzerrungen und zusammengefasste Teilpopulationen (der Wahlund-Effekt) können alle scheinbare Heterozygoten-Defizite erzeugen, die ein Ungleichgewicht vortäuschen.
- Der Test erkennt Abweichungen nur an einem Lokus; Aussagen über eine ganze Population erfordern die Untersuchung mehrerer Loci.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich Allelfrequenzen von Hand ohne Rechner?
Zählen Sie die Gesamtzahl der Kopien des Allels und dividieren Sie durch alle Genkopien in der Stichprobe. Jeder Homozygote trägt zwei Kopien eines Allels, jeder Heterozygote je eine von beiden. Also gilt p = (2·AA + Aa) / (2N) und q = (2·aa + Aa) / (2N), wobei N die Anzahl der Individuen ist. Da es insgesamt 2N Allele gibt, muss p + q gleich 1 sein — eine schnelle Kontrolle, ob Ihre Rechnung stimmt.
Warum verwendet dieser Test 1 Freiheitsgrad statt 2?
Mit drei Genotypklassen würde man normalerweise einen Freiheitsgrad für die feste Gesamtsumme verlieren (3 − 1 = 2). Hier wird aber die Allelfrequenz p aus derselben Stichprobe geschätzt, und q ist dann durch q = 1 − p festgelegt, sodass ein weiterer Freiheitsgrad verloren geht: 3 − 1 − 1 = 1. Deshalb beträgt der kritische Wert bei 5 % 3,84 und nicht 5,99. Die Verwendung der falschen Freiheitsgrade gehört zu den häufigsten Fehlern in Hardy-Weinberg-Aufgaben.
Was ist ein guter oder normaler Chi-Quadrat-Wert für das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht?
Es gibt keinen „Idealwert“ — die Statistik hängt von der Stichprobengröße und den Allelfrequenzen selbst ab. Eine Population, die mit dem Gleichgewicht vereinbar ist, liefert einfach ein kleines χ² relativ zum kritischen Wert von 3,84 (bei α = 0,05 und 1 Freiheitsgrad). Sehr kleine χ²-Werte sind in idealisierten Lehrbuchdaten häufig und zu erwarten. Sehr große Werte signalisieren eine Abweichung, doch Vorsicht: Bei großen Stichproben werden auch winzige biologische Unterschiede statistisch signifikant — vergleichen Sie daher zusätzlich die beobachteten und erwarteten Anzahlen direkt.
Können Allelfrequenzen negativ oder größer als 1 sein?
Nein. Da Allelfrequenzen Anzahlen von Allelkopien dividiert durch die Gesamtzahl der Genkopien (2N) sind, liegen p und q stets zwischen 0 und 1, und es gilt genau p + q = 1. Erhalten Sie einen Wert außerhalb dieses Bereichs, haben Sie einen Rechen- oder Eingabefehler gemacht — etwa weil Sie Phänotyp-Anzahlen (bei denen AA und Aa nicht unterscheidbar sind) mit Genotyp-Anzahlen verwechselt haben. Beachten Sie: Genotypfrequenzen können 0 sein, aber Allelfrequenzen erreichen nur dann 0 oder 1, wenn ein Allel vollständig fehlt.
Was passiert, wenn ein Genotyp in meiner Stichprobe völlig fehlt?
Eine fehlende Genotypklasse ist für die Schätzung von p und q unproblematisch — z. B. liefern 0 AA, 40 Aa, 20 aa weiterhin gültige Frequenzen (p = 0,33, q = 0,67). Kritisch ist der Chi-Quadrat-Test: Liegt eine erwartete Anzahl unter etwa 5, wird die Approximation unzuverlässig. Bei seltenen Allelen sind die erwarteten Homozygoten-Anzahlen oft winzig. Erheben Sie in diesem Fall eine größere Stichprobe oder verwenden Sie einen exakten Test (wie den exakten Hardy-Weinberg-Test in Genetik-Software), der auch kleine Stichproben korrekt behandelt.
Wie kann ich mit Allelfrequenzen die Überträgerhäufigkeit für eine rezessive Erkrankung schätzen?
Ist die Erkrankung rezessiv und der Lokus im Gleichgewicht, treten betroffene Individuen (aa) mit der Frequenz q² auf, sodass Sie q = √(Frequenz der Betroffenen) schätzen können. Die Überträgerhäufigkeit unter Nichtbetroffenen beträgt näherungsweise 2pq. Sind z. B. 1 von 2.500 Neugeborenen betroffen, so ist q = 1/50 = 0,02, und etwa 3,9 % der Bevölkerung tragen eine Kopie. Dies setzt voraus, dass das Gleichgewicht gilt; wenden Sie sich für eine tatsächliche Risikoeinschätzung an eine genetische Beratung, da reale Populationen abweichen können.
Mein Chi-Quadrat ist signifikant, aber die Population scheint in Ordnung — was könnte eine falsche Abweichung verursachen?
Mehrere technische Ursachen täuschen ein echtes Ungleichgewicht vor: Genotypisierungsfehler, die Heterozygote falsch aufrufen, die Zusammenfassung von Daten genetisch unterschiedlicher Teilpopulationen (der Wahlund-Effekt, der die scheinbare Homozygotie erhöht), nicht-zufällige Stichprobenziehung oder schlicht kleine erwartete Anzahlen, die die χ²-Approximation ungenau machen. Prüfen Sie auch, ob die Genotypen wirklich unterschieden wurden — wurden AA und Aa aus Phänotypen unter Annahme unvollständiger Dominanz erschlossen, können die Eingabedaten selbst fehlerhaft sein. Die Testung mehrerer unabhängiger Loci hilft, ein Datenproblem von einem echten biologischen Signal zu unterscheiden.