Calculateur de déterminant de matrice

Q: Que signifient les notations det A et |A| ?

Elles désignent la même chose : det A, |A| et det(A) représentent toutes le déterminant de la matrice A. La notation avec des barres verticales est courante dans les formules abrégées, notamment pour la règle de Cramer. Attention toutefois à ne pas la confondre avec une valeur absolue : un déterminant noté |A| peut être négatif. Par souci de clarté, ce calculateur désigne toujours le résultat par det A.

Mis à jour : 02.11.2026

Calculez le déterminant exact de toute matrice carrée de 2×2 à 6×6. Saisissez des entiers, des nombres décimaux ou des fractions pour obtenir le résultat exact, sa valeur décimale, une vérification de la singularité et la résolution détaillée.

Calculer le déterminant d’une matrice carrée

Taille de la matrice

Remplir la grille avec

Ligne 1

a₁₁Entiers, nombres décimaux (ex. : 1,5) ou fractions (ex. : 3/4). Les cases vides valent 0.

a₁₂

a₁₃

Ligne 2

a₂₁

a₂₂

a₂₃

Ligne 3

a₃₁

a₃₂

a₃₃

Calculer automatiquementSi activé, le résultat se met à jour automatiquement dès que vous modifiez une valeur.

Résultats du calcul du déterminant

Déterminant (valeur exacte)det A

Déterminant (valeur décimale)

La matrice est-elle singulière ?

Étapes du calcul

Formule du déterminant

Formule

\[ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc \\ \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\ \det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j} \]

Avec :

\(a_{ij}\) — l’élément situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) de la matrice carrée \(A\)
\(M_{1j}\) — le mineur : le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la première ligne et la colonne \(j\)
\((-1)^{1+j}M_{1j}\) — le cofacteur de l’élément \(a_{1j}\)

La première ligne donne la règle des diagonales pour une matrice 2×2. La deuxième développe le déterminant d’une matrice 3×3 suivant sa première ligne, à l’aide des cofacteurs (développement de Laplace). La dernière donne la formule générale, valable pour toute matrice \(n \times n\).

Déterminant : exemple de calcul

Exemple : calculons le déterminant de la matrice 3×3 suivante :

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]

\[ M_{11} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = -2, \quad M_{12} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = -5, \quad M_{13} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1 \]

\[ \det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \]

Résultat : \(\det A = 4\). Le déterminant n’est pas nul : la matrice est donc inversible. Vous pouvez retrouver ce résultat en lançant le calcul avec les valeurs proposées par défaut.

Comment utiliser le calculateur de déterminant

Dans le menu Taille de la matrice, choisissez 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 ou 6 × 6. Seuls les champs correspondant à la taille choisie sont pris en compte.
Dans le menu Remplir la grille avec, choisissez comment renseigner la matrice : Utiliser les valeurs saisies ci-dessous, Matrice aléatoire d’entiers (une nouvelle matrice est générée à chaque sélection), Matrice identité ou Effacer (tout mettre à zéro).
Saisissez les éléments dans les champs a₁₁, a₁₂, … Les entiers, les nombres décimaux comme 1,5 et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Une case vide vaut 0.
Consultez les résultats : Déterminant (valeur exacte) donne le résultat sous forme d’entier ou de fraction exacte, Déterminant (valeur décimale) en donne la forme décimale, La matrice est-elle singulière ? indique si elle est inversible et Étapes de la résolution détaille le calcul.

Qu’est-ce que le déterminant d’une matrice ?

Le déterminant est un nombre qui résume une propriété géométrique et algébrique importante d’une matrice carrée. Sur le plan géométrique, la valeur absolue du déterminant d’une matrice \(n \times n\) est le facteur par lequel la transformation linéaire représentée par cette matrice modifie les volumes : \(|\det A|\) indique dans quelle mesure elle multiplie les longueurs (2×2), les aires (2×2 et 3×3 dans des contextes en 2D ou 3D) ou, plus généralement, les volumes. Un déterminant de 3 signifie que la transformation triple le volume ; un déterminant de 0 signifie qu’elle ramène l’espace à une dimension inférieure, avec une perte d’information.

Sur le plan algébrique, le déterminant permet de savoir rapidement si une matrice est inversible. Une matrice carrée possède une inverse si et seulement si \(\det A \neq 0\). Lorsque \(\det A = 0\), la matrice est dite singulière : ses lignes (et ses colonnes) sont linéairement dépendantes, les systèmes \(Ax = b\) n’ont pas de solution unique et \(A^{-1}\) n’existe pas. C’est pourquoi le déterminant intervient aussi bien dans la résolution des systèmes linéaires (règle de Cramer) que dans la recherche des valeurs propres et le calcul des produits vectoriels.

L’interprétation du résultat dépend du contexte. Sa valeur exacte est utile pour vérifier un calcul à la main et pour la théorie ; sa valeur décimale facilite les estimations. Son signe a également un sens : un déterminant négatif indique que la transformation inverse l’orientation, comme dans une réflexion par un miroir. Enfin, le déterminant n’est défini que pour les matrices carrées : une matrice non carrée n’en a pas.

Comment fonctionne le calculateur : deux méthodes

Pour les matrices 2×2 et 3×3, le calculateur utilise le développement suivant la première ligne à l’aide des cofacteurs. Il affiche chaque mineur et chaque produit et, pour les matrices 3×3, vérifie aussi le résultat avec la règle de Sarrus. Pour les matrices de 4×4 à 6×6, il passe à l’élimination de Gauss en calculant avec des fractions exactes : ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant, tandis que permuter deux lignes en inverse le signe. Le déterminant est alors le produit des pivots de la matrice triangulaire supérieure obtenue, multiplié par \((-1)\) pour chaque permutation effectuée. Si aucun pivot ne peut être trouvé dans une colonne, la matrice est singulière et son déterminant vaut exactement 0.

Tous les calculs sont effectués avec des entiers et des fractions, et non avec des nombres décimaux en virgule flottante. Le résultat est donc exact, sans erreur d’arrondi, même avec des fractions difficiles à manipuler. Les nombres décimaux comportant jusqu’à 12 chiffres après la virgule sont convertis en fractions exactes : 0,1 est ainsi traité comme exactement 1/10, et non comme une valeur binaire approchée.

Propriétés utiles et limites

\(\det(AB) = \det A \cdot \det B\), et \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\) lorsque la matrice est inversible.
Permuter deux lignes (ou deux colonnes) multiplie le déterminant par −1 ; multiplier une ligne par une constante \(k\) multiplie le déterminant par \(k\). Une matrice ayant deux lignes identiques ou une ligne nulle a un déterminant nul.
\(\det A = \det A^{T}\) : les propriétés relatives aux lignes s’appliquent donc aussi aux colonnes. Vous pouvez étudier la transposée avec le calculateur de transposée d’une matrice.
Le calculateur accepte uniquement les matrices de 2×2 à 6×6, avec des éléments comportant jusqu’à 12 chiffres après la virgule. Pour les matrices plus grandes, utilisez l’élimination et le développement par les cofacteurs, ou un logiciel adapté aux grands systèmes linéaires.
Une propriété pratique à retenir : \(\det(kA) = k^{n} \det A\) pour une matrice \(n \times n\), car chaque ligne est multipliée par \(k\). Le calculateur de multiplication d’une matrice par un scalaire permet de construire directement de telles matrices.
Un déterminant non nul garantissant qu’un système linéaire possède une solution unique, vous pouvez aussi résoudre directement des systèmes avec le calculateur de résolution par élimination, ou comparer des invariants liés, comme la somme des éléments diagonaux, avec le calculateur de trace d’une matrice.

Questions fréquentes

Comment calculer à la main le déterminant d’une matrice 4×4 ?

Vous pouvez développer le déterminant suivant une ligne ou une colonne contenant beaucoup de zéros (le développement de Laplace ramène le calcul d’un déterminant 4×4 à celui de quatre déterminants 3×3). Vous pouvez aussi transformer la matrice en matrice triangulaire supérieure par des opérations sur les lignes : det A est alors le produit des éléments diagonaux, multiplié par −1 pour chaque permutation de lignes. Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant. La résolution détaillée du calculateur montre précisément ces étapes d’élimination.

Un déterminant peut-il être négatif ou fractionnaire ?

Oui, dans les deux cas. Un déterminant négatif signifie que la transformation inverse l’orientation, comme dans une réflexion par un miroir. Si vous cherchez le facteur de changement de volume, prenez simplement sa valeur absolue. Des éléments fractionnaires, ou des divisions effectuées lors de l’élimination, peuvent donner un déterminant fractionnaire : par exemple, le déterminant de la matrice 2×2 \(\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}\) vaut 1/6. Le calculateur affiche la fraction exacte ainsi qu’une valeur décimale arrondie.

Que signifient les notations det A et |A| ?

Elles désignent la même chose : \(\det A\), \(|A|\) et \(\det(A)\) représentent toutes le déterminant de la matrice \(A\). La notation avec des barres verticales est courante dans les formules abrégées, notamment pour la règle de Cramer. Attention toutefois à ne pas la confondre avec une valeur absolue : un déterminant noté \(|A|\) peut être négatif. Par souci de clarté, ce calculateur désigne toujours le résultat par det A.

Existe-t-il une méthode rapide pour les matrices diagonales ou triangulaires ?

Oui. Pour toute matrice diagonale ou triangulaire, supérieure ou inférieure, le déterminant est simplement le produit des éléments diagonaux : \(\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}\). C’est pourquoi le calculateur ramène les grandes matrices à une forme triangulaire : un développement compliqué se réduit ainsi à une multiplication. La matrice identité est le cas particulier où ce produit vaut 1 : det \(I\) = 1, quelle que soit sa taille.

J’ai effectué les opérations sur les lignes à la main et obtenu un autre résultat. Où est l’erreur ?

L’erreur la plus fréquente consiste à oublier que multiplier une ligne par une constante \(k\) multiplie le déterminant entier par \(k\), et que chaque permutation de lignes ou de colonnes en inverse le signe. Seule l’opération « ajouter à une ligne un multiple d’une autre » laisse le déterminant inchangé. Si vous avez utilisé un développement par les cofacteurs, vérifiez aussi que vous avez développé suivant une seule ligne ou colonne et respecté l’alternance des signes.

Pourquoi ne puis-je pas calculer le déterminant d’une matrice 3×4 ou d’une autre matrice non carrée ?

Le déterminant n’est défini que pour les matrices carrées : il mesure le facteur par lequel une transformation modifie un espace à \(n\) dimensions sans en changer la dimension. Une matrice non carrée change la dimension ; il n’existe donc pas de facteur unique de ce type. Pour ces matrices, on utilise d’autres invariants, comme le rang de \(A\) ou le déterminant de la matrice carrée \(A^T A\), qui intervient dans les formules des moindres carrés.

Comment saisir un nombre mixte, comme 1 1/2 ?

Saisissez-le sous forme de fraction impropre : 1 1/2 devient 3/2 et −2¾ devient −11/4. Les champs n’acceptent que les entiers, les nombres décimaux (jusqu’à 12 chiffres après la virgule) et les fractions écrites sous la forme p/q. Une case vide vaut 0. Les nombres décimaux sont convertis en fractions exactes pour le calcul : 0,1 est donc traité comme exactement 1/10, sans risque qu’une erreur d’arrondi liée à la virgule flottante fausse le déterminant.