Calculadora de Distribuição Normal
Introduza uma média, um desvio padrão e um valor (ou dois limites) para obter a densidade de probabilidade, as probabilidades acumuladas P(X x), P(a < X < b) e o escore z de uma distribuição normal.
Calcular Probabilidades da Distribuição Normal
Fórmula da Distribuição Normal
Onde:
- \(\mu\) — média, o centro da curva em forma de sino
- \(\sigma\) — desvio padrão, a dispersão da distribuição (deve ser positivo)
- \(x\) — o valor no qual a densidade e as probabilidades são avaliadas
- \(f(x)\) — função de densidade de probabilidade (PDF), a altura da curva em \(x\)
- \(F(x)\) — função de distribuição acumulada (CDF), a área sob a curva à esquerda de \(x\)
- \(z\) — escore z, a distância à média medida em desvios padrão
- \(\Phi\) — CDF da distribuição normal padrão (\(\mu=0,\ \sigma=1\))
A primeira equação define a própria curva em forma de sino. A segunda converte qualquer valor num escore z e lê a probabilidade a partir da curva normal padrão, de modo que uma única tabela universal (ou a função erro) serve para qualquer média e desvio padrão.
Distribuição Normal – Exemplo de Cálculo
Exemplo: os quocientes de inteligência (QI) seguem aproximadamente uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter um QI inferior a 110?
\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{110-100}{15}=0.6667 \]
\[ P(X<110)=\Phi(0.6667)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{0.6667}{\sqrt{2}}\right)\right]\approx 0.7475 \]
A densidade de probabilidade nesse ponto é \( f(110)=\frac{1}{15\sqrt{2\pi}}e^{-0.6667^2/2}\approx 0.0213 \).
Resultado: P(X > 110) ≈ 25,25%, e o escore z é 0,6667.
Como usar a calculadora
- Introduza a Média (μ) — o centro da sua distribuição (por exemplo, 100).
- Introduza o Desvio padrão (σ) — deve ser maior do que 0.
- Escolha a Probabilidade desejada: abaixo de um valor, acima de um valor, entre dois valores ou fora de um intervalo (as duas caudas).
- Nos modos «abaixo» e «acima», introduza o Valor (x) onde as probabilidades devem ser avaliadas.
- Nos modos «entre» e «fora», introduza o Limite inferior (a) e o Limite superior (b); o limite superior deve ser maior do que o inferior. Pode ainda preencher x para obter também a densidade e as probabilidades acumuladas nesse ponto.
- Leia os resultados: densidade de probabilidade, probabilidade acumulada, probabilidade da cauda superior, área entre os limites, escore z e uma interpretação em linguagem simples.
O que é a distribuição normal?
A distribuição normal (também chamada distribuição gaussiana ou curva em forma de sino) é a distribuição de probabilidade mais utilizada em estatística. É totalmente descrita por apenas dois números: a média \(\mu\), que localiza o centro da curva, e o desvio padrão \(\sigma\), que controla a sua largura ou estreiteza. Muitas medições naturais — alturas, erros de medição, notas de testes, pressão arterial — seguem aproximadamente uma distribuição normal, em grande parte devido ao teorema central do limite: quando muitos pequenos efeitos independentes se somam, o total tende para uma curva em forma de sino.
A curva é simétrica em relação à média e nunca toca o zero, estendendo-se infinitamente em ambas as direções. A probabilidade de qualquer valor exato é zero; em vez disso, as probabilidades correspondem a áreas sob a curva. A probabilidade acumulada \(F(x)=P(X<x)\) é a área à esquerda, e \(P(X>x)=1-F(x)\) é a área à direita. A densidade de probabilidade \(f(x)\) não é em si uma probabilidade — é a altura da curva, útil para comparar a verosimilhança relativa de diferentes regiões.
O escore z \(z=(x-\mu)/\sigma\) expressa um valor como um número de desvios padrão a partir da média. Um escore z de 2 significa «dois desvios padrão acima da média». A conversão para escores z é o truque essencial: qualquer distribuição normal, qualquer que seja a sua média e desvio padrão, torna-se a mesma curva normal padrão, pelo que as probabilidades podem ser lidas a partir de uma única função universal.
Interpretar o resultado
A regra 68-95-99,7 (regra empírica) fornece uma verificação rápida para qualquer resposta:
| Intervalo em torno da média | Proporção de dados dentro | Proporção fora (ambas as caudas) |
|---|---|---|
| \(\mu \pm 1\sigma\) | 68,27% | 31,73% |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | 95,45% | 4,55% |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | 99,73% | 0,27% |
Se a probabilidade calculada discordar fortemente destas referências, verifique os dados introduzidos. Por exemplo, com as configurações predefinidas, a probabilidade de um valor inferior a 110 (z = 0,67) deve ser um pouco mais de 68%, já que 110 está a menos de um desvio padrão acima da média — e 74,75% está de acordo com essa expectativa.
Pressupostos, limitações e dicas práticas
- Pressuposto de normalidade: a calculadora assume que os seus dados seguem verdadeiramente uma distribuição normal. Os dados reais são frequentemente assimétricos, limitados ou de caudas pesadas; as probabilidades de valores extremos são especialmente sensíveis a este pressuposto.
- Desigualdade estrita ou não estrita: para uma distribuição contínua, \(P(X<x)\) e \(P(X\le x)\) são idênticos, pelo que não importa a convenção utilizada.
- Probabilidades pequenas: valores muito afastados nas caudas (|z| além de cerca de 4) dão probabilidades próximas de 0 ou 1; a calculadora mostra seis casas decimais para que ainda possa lê-las.
- Amostra vs. população: introduza a média e o desvio padrão populacionais se os conhecer. Se tiver apenas estimativas amostrais, os resultados são aproximações — para amostras pequenas, uma distribuição t é mais adequada.
- σ negativo ou nulo: o desvio padrão deve ser estritamente positivo; a calculadora rejeita qualquer outro valor, pois uma dispersão nula colapsaria a curva num pico.
- Precisão: as probabilidades são calculadas com uma aproximação da função erro, exata até cerca de 7 casas decimais, o que é mais do que suficiente para o trabalho prático.
Perguntas frequentes
Como calcular probabilidades da distribuição normal à mão, sem calculadora?
Primeiro converta o seu valor num escore z: \(z = (x - \mu) / \sigma\). Depois procure o escore z numa tabela normal padrão (tabela Z), que lhe dá \(P(Z < x) = \Phi(z)\); a cauda superior é \(P(Z > x) = 1 - \Phi(z)\). Para um intervalo, subtraia os dois valores da tabela: \(P(a < X < b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). Para z negativo, use a simetria da curva: \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).
O que é um escore z bom ou normal?
Um escore z indica a quantos desvios padrão um valor está da média. Valores entre −2 e +2 abrangem cerca de 95% dos casos e são considerados típicos. Um escore z além de ±2 é invulgar (aproximadamente os 2,5% superiores ou inferiores), e além de ±3 é muito raro (cerca de 0,27% dos dados ficam fora de ±3). Não existe um escore z «bom» em geral — depende do contexto: no controle de qualidade, desejam-se escores z próximos de 0, enquanto em alguns testes um escore z elevado é melhor.
Por que a minha probabilidade é maior do que 1 ou a densidade maior do que 1?
Uma probabilidade nunca pode exceder 1; se vir isso, verifique os dados introduzidos — na maioria das vezes, o desvio padrão foi introduzido no campo errado ou é extremamente pequeno. Uma densidade \(f(x)\) maior do que 1, porém, é perfeitamente válida: a densidade é a altura da curva, não uma probabilidade. Quando \(\sigma\) é pequeno, a curva é estreita e alta, e a altura do seu pico é \(1/(\sigma\sqrt{2\pi})\), que pode facilmente exceder 1.
Posso usar esta calculadora com dados amostrais ou uma distribuição t?
Use-a com estimativas amostrais da média e do desvio padrão apenas como aproximação, idealmente com pelo menos 30 observações. Para amostras pequenas (aproximadamente n < 30) em que o desvio padrão populacional é desconhecido, a distribuição t é mais adequada — tem caudas mais pesadas, pelo que as probabilidades extremas diferem de forma notável. Se os seus dados forem contagens, proporções ou fortemente assimétricos, uma distribuição diferente (Poisson, binomial, log-normal) pode ajustar-se melhor.
Como encontro o valor x que corresponde a um determinado percentil?
Esta calculadora funciona na direção direta, mas pode fazer o caminho inverso manualmente. Tome o percentil como decimal (o percentil 90 é 0,90), encontre o escore z cuja probabilidade acumulada é igual a ele (para 0,90, z ≈ 1,2816) e depois despadronize: \(x = \mu + z \cdot \sigma\). Por exemplo, com μ = 100 e σ = 15, o percentil 90 é 100 + 1,2816 × 15 ≈ 119,2.
Qual é a diferença entre a distribuição normal e a distribuição normal padrão?
A distribuição normal padrão é simplesmente o caso particular com \(\mu = 0\) e \(\sigma = 1\). Qualquer distribuição normal pode ser transformada nela por padronização: subtrai-se a média e divide-se pelo desvio padrão. É por isso que uma única tabela Z universal serve todas as distribuições normais. Se a sua média for 0 e o desvio padrão 1, introduzi-los aqui dá-lhe diretamente a normal padrão.
Importa pedir P(X < x) ou P(X ≤ x)?
Não. Para uma distribuição contínua como a normal, a probabilidade de qualquer valor exato único é zero — a área sob a curva num único ponto é zero. Portanto, \(P(X < x)\) e \(P(X \le x)\) são idênticos, e o mesmo se aplica à cauda superior. Isto só se torna um problema ao aproximar dados discretos (como notas de exames arredondadas a números inteiros) com uma curva normal, caso em que uma correção de continuidade de ±0,5 pode melhorar a precisão.