Калькулятор бета-розподілу
Вкажіть параметри форми α і β, щоб обчислити щільність бета-розподілу, кумулятивну та хвостові ймовірності, ймовірності для інтервалів, середнє, дисперсію та моду для будь-якої частки від 0 до 1.
Обчислення ймовірностей, густини та моментів бета-розподілу
Формула бета-розподілу
Де:
- α, β — параметри форми, обидва більші за 0
- α визначає вагу значень поблизу 1, β — вагу значень поблизу 0
- α = β = 1 дає рівномірний розподіл на [0, 1]
- α = β дає симетричний дзвоноподібний розподіл із центром у 0,5
- α, β < 1 дають U-подібний розподіл із масою біля обох кінців
- Мода існує лише за α > 1 і β > 1
Щільність показує, наскільки ймовірною є кожна частка x з [0, 1] за Beta(α, β). Кумулятивна функція F(x) — це регуляризована неповна бета-функція \(I_x(α, β)\), а ймовірності для інтервалів випливають із \(P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\).
Бета-розподіл — стандартна модель для величин, які набувають значень на [0, 1]: часток, часток ринку, ставок і ймовірностей. Це також природний априорний і апостеріорний розподіл для ймовірності успіху біноміального експерименту в баєсівському аналізі.
Бета-розподіл — приклад обчислення
{wp_code}
Приклад: апостеріорний розподіл Beta(2, 5) для коефіцієнта конверсії. Обчислимо значення розподілу в точці x = 0,3.
\[ B(2, 5) = \frac{Γ(2)Γ(5)}{Γ(7)} = \frac{1 \cdot 24}{720} = \frac{1}{30} \]
\[ f(0.3) = 30 \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 30 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 2.1609 \]
\[ F(0.3) = 1 - (1-0.3)^5(1 + 5 \cdot 0.3) = 1 - 0.16807 \cdot 2.5 = 0.57983 \]
\[ \text{Середнє} = \frac{2}{7} = 0.28571, \quad σ^2 = \frac{10}{392} = 0.02551, \quad \text{Мода} = \frac{1}{5} = 0.2 \]
Результат: f(0,3) ≈ 2,1609, P(X ≤ 0,3) ≈ 0,57983 (57,98 %), P(X > 0,3) ≈ 0,42018, середнє 0,28571, дисперсія 0,02551, мода 0,2. Якщо перейти в режим інтервалу з a = 0,2 і b = 0,5, отримаємо P(0,2 ≤ X ≤ 0,5) = F(0,5) − F(0,2) = 0,89063 − 0,34464 = 0,54599, тобто приблизно 54,6 %.
Як користуватися калькулятором
- Введіть параметр форми альфа (α) та параметр форми бета (β). Обидва мають бути додатними.
- Виберіть, що саме обчислювати: в одній точці x — щільність і хвостові ймовірності в одній точці, або на інтервалі [a, b] — ймовірність потрапляння між двома частками.
- Введіть частку x (від 0 до 1) або нижню та верхню межі інтервалу.
- Прочитайте результати: щільність, кумулятивну ймовірність P(X ≤ x), ймовірність верхнього хвоста P(X > x), ймовірність інтервалу, середнє, дисперсію, моду, а також коротке текстове тлумачення.
Що таке бета-розподіл?
Бета-розподіл — це сімейство неперервних розподілів імовірностей, заданих на інтервалі [0, 1]. Саме завдяки цьому обмеженому діапазону він став базовою моделлю для будь-якої величини, вираженої часткою або у відсотках: коефіцієнтів конверсії, часток ринку, точності тестів, частки бракованих виробів або значення невідомої ймовірності як такої.
Два параметри форми надають сімейству виняткової гнучкості. За α = β = 1 отримуємо плаский рівномірний розподіл. За α = β > 1 — симетричну дзвоноподібну криву з центром у 0,5. Нерівні параметри зміщують розподіл убік 0 або 1, а значення менші за 1 дають U-подібну форму, накопичуючи ймовірність біля обох кінців. Завдяки цій гнучкості бета-розподіл трапляється всюди — від баєсівської статистики до управління проєктами (PERT) і баєсівського A/B-тестування.
Найважливіша його роль — у баєсівському висновку. Бета-розподіл є спряженим априорним розподілом для біноміального: якщо взяти априорний Beta(α₀, β₀) для ймовірності успіху і спостерігти s успіхів та n − s невдач, апостеріорний розподіл буде точно Beta(α₀ + s, β₀ + n − s). Наприклад, плаский априор Beta(1, 1) після 20 випробувань з 5 успіхами дає апостеріорний Beta(6, 16), хвостові ймовірності якого можна одразу зчитати з цього калькулятора — 95 % кредибельний інтервал — це центральні 95 % маси ймовірності. Логіку такого оновлення описано в калькуляторі теореми Баєса.
Тлумачення результатів
Щільність f(x) — це висота кривої в точці x; сама по собі вона не є ймовірністю, але чим вона більша, тим імовірніші значення поблизу x. Кумулятивна ймовірність F(x) — це ймовірність того, що величина не перевищує x, а ймовірність верхнього хвоста — її доповнення, 1 − F(x). Разом вони дають відповіді на запитання на кшталт «яка ймовірність, що коефіцієнт конверсії менший за 20 %?» або «яка ймовірність, що він перевищує 30 %?»
Середнє α/(α+β) — точка рівноваги розподілу, а в баєсівському підході — апостеріорна оцінка частки. Дисперсія зменшується зі зростанням α + β — саме тому більша кількість даних (більші апостеріорні параметри) дає точніші висновки. Мода — це найімовірніше значення; вона існує, лише коли обидва параметри перевищують 1. Порівняйте з калькулятором рівномірного розподілу, щоб побачити окремий випадок α = β = 1, і з калькулятором гамма-розподілу — його двійника без обмеження зверху.
Поради, припущення та обмеження
- Розподіл визначено лише на [0, 1]. Якщо ваша величина набуває значень у ширшому діапазоні, спочатку нормуйте її або скористайтеся іншим сімейством розподілів.
- Параметри форми мають бути строго додатними; калькулятор приймає будь-яке додатне значення, зокрема дробове — що типово для баєсівських априорних розподілів (наприклад, Beta(0,5, 0,5) — априор Джеффріса).
- За α < 1 або β < 1 щільність у відповідному кінці інтервалу необмежена (нескінченна); калькулятор повідомляє про це, і з математичного погляду це нормально.
- У режимі інтервалу верхня межа має бути більшою за нижню; обидві мають лежати в [0, 1].
- У баєсівських застосуваннях вибір априорних параметрів має значення, коли даних мало. Рівномірний априор Beta(1, 1) і априор Джеффріса Beta(0,5, 0,5) можуть призвести до помітно різних висновків уже після кількох спостережень.
- Додаткова кумулятивна величина S(x) = P(X > x) зручна для односторонніх запитань; режим інтервалу безпосередньо покриває двосторонні.
Часті запитання
Як обчислити ймовірності бета-розподілу вручну?
Скористайтеся щільністю \( f(x) = x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}/B(\alpha,\beta) \), де \( B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta) \). Для цілих параметрів функція розподілу зводиться до біноміальної суми: якщо \(\beta\) — ціле число, то \( F(x) = \sum_{j=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{j} x^j (1-x)^{\alpha+\beta-1-j} \). Саме тому Beta(2, 5) дає \( F(0.3) = 1 - 0.7^5(1+5\cdot 0.3) \). Для нецілих параметрів потрібна неповна бета-функція — саме її калькулятор обчислює чисельно.
Як підібрати альфа і бета для моєї задачі?
Практичне правило для часток: задайте \(\alpha = \beta\) для симетричних переконань із центром у 0,5, або підберіть \(\alpha\) і \(\beta\) так, щоб \(\alpha/(\alpha+\beta)\) дорівнювало вашій найкращій оцінці, а \(\alpha+\beta\) відображало впевненість — малі суми (наприклад, 2) означають розмиті переконання, великі (наприклад, 50) — міцні. У баєсівському аналізі без попередніх знань часто обирають рівномірний априор Beta(1, 1) або априор Джеффріса Beta(0,5, 0,5).
Чи може щільність перевищувати 1? Це помилка?
Ні, щільність понад 1 — цілком коректна. Щільність — це висота кривої, а не ймовірність; одиниці має дорівнювати лише площа під кривою. Щільність Beta(2, 5) у точці x = 0,3 сягає приблизно 2,16, а вузькі, сконцентровані розподіли можуть мати піки 10 і більше. Лише кумулятивні ймовірності та ймовірності інтервалів мусять перебувати між 0 і 1. Якщо калькулятор показує нескінченність у точці 0 або 1 за \(\alpha < 1\) або \(\beta < 1\) — це теж математично коректно.
Як застосувати бета-розподіл для баєсівського оновлення частки?
Візьміть априорний Beta(\(\alpha_0, \beta_0\)), спостерігайте \(s\) успіхів та \(f\) невдач за \(n\) випробувань — і апостеріорним розподілом буде просто Beta(\(\alpha_0 + s, \beta_0 + f\)). Введіть ці оновлені параметри в калькулятор, щоб зчитати апостеріорне середнє, хвостові ймовірності та кредибельні інтервали. Наприклад, рівномірний априор з 5 успіхами за 20 випробувань дає апостеріорний Beta(6, 16) — завдяки спряженості жодного складного інтегрування не потрібно.
Чи можна вводити відсотки замість часток?
Параметри форми вводьте як числа, а частку \(x\) — як значення від 0 до 1: 30 % — це 0,3, а не 30. Бета-розподіл визначено лише на інтервалі [0, 1], тому значення поза ним буде відхилено. Якщо результати у вигляді десяткових дробів, а потрібні відсотки, помножте ймовірності на 100: кумулятивна ймовірність 0,57983 означає 57,98 %. Середнє й мода — теж частки: середнє 0,28571 — це 28,57 %.
Чому мода іноді не існує?
Формула моди \( (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2) \) працює, лише коли обидва параметри перевищують 1. Якщо \(\alpha \le 1\), щільність спадає до 0 (або зростає до нескінченності в 0), а якщо \(\beta \le 1\) — зростає до 1, тож внутрішнього піку немає: найімовірніше значення лежить на краю. Коли обидва параметри менші за 1, розподіл U-подібний, з масою, накопиченою біля 0 і 1. У таких випадках калькулятор показує прочерк замість моди.
Яка різниця між кредибельним і довірчим інтервалом?
У цьому калькуляторі ймовірність інтервалу P(a ≤ X ≤ b), обчислена для бета-апостеріорного розподілу, — це кредибельний інтервал: саме така ймовірність того, що параметр лежить між a і b за даних і априорного розподілу. Класичний довірчий інтервал ніякого ймовірнісного твердження про сам параметр не робить — він описує довгострокові властивості процедури. Ця різниця важлива при комунікації результатів: баєсівські інтервали відповідають саме на те запитання, яке зазвичай мають на увазі.