Калькулятор довжини дуги
Введіть радіус і центральний кут кола (у градусах, радіанах або градах) — і калькулятор одразу обчислить довжину дуги за формулою s = rθ, показавши весь хід розв’язання.
Довжина дуги за радіусом і центральним кутом
Формула довжини дуги
Де:
- \(s\) — довжина дуги (у тих самих одиницях, що й радіус)
- \(r\) — радіус кола
- \(\theta\) — центральний кут у радіанах (кут між двома радіусами, що відтинають дугу)
Формула показує, що довжина дуги прямо пропорційна і радіусу, і куту: подвоївши будь-який з них, ви подвоїте довжину дуги. Якщо кут задано в градусах або градах, його спершу потрібно перевести в радіани, адже \(1\) радіан визначають як кут, що спирається на дугу, рівну за довжиною радіусу.
Довжина дуги — приклад обчислення
Приклад: коло має радіус 5 м, і потрібно знайти довжину дуги, яку відтинає центральний кут 60°.
\[ \theta = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \text{ рад} \]
\[ s = r \cdot \theta = 5 \times 1.0472 = 5.236 \text{ м} \]
Результат: довжина дуги становить приблизно 5,236 м (точно \(\frac{5\pi}{3}\) м, тобто близько 17,5% повної довжини кола \(2\pi r \approx 31.416\) м).
Як користуватися калькулятором довжини дуги
- Введіть Радіус (r) — відстань від центра кола до дуги — і виберіть його одиницю (м, см, мм, дюйми чи фути).
- Введіть Центральний кут (θ) між двома радіусами, що відтинають дугу, і виберіть його одиницю:
deg,radабоgrad. - Зчитайте Довжину дуги у панелі результатів — вона виражена в тих самих одиницях, що й ваш радіус.
- Перевірте рядок Обчислення, щоб побачити переведення кута в радіани та множення \(s = r\theta\) покроково.
Що таке довжина дуги?
Дуга — це частина кола між двома точками. Довжина дуги — це відстань, яку ви пройшли б, рухаючись колом від одного кінця дуги до іншого, а не прямолінійна відстань між ними (це була б хорда).
Розмір дуги визначають лише дві величини: радіус кола та центральний кут, що на неї спирається. Центральний кут — це кут, утворений у центрі кола двома радіусами, проведеними до кінців дуги. Оскільки повне коло відповідає \(2\pi\) радіанів, дуга, що покриває все коло, має довжину \(2\pi r\) — звична формула довжини кола, — а будь-який менший кут забирає свою пропорційну частину.
Саме тому кут має бути в радіанах, щоб працювала формула \(s = r\theta\). Радіан — це саме той кут, при якому довжина дуги дорівнює радіусу, тож \(\theta\) радіанів буквально означає «\(\theta\) радіусів шляху по кривій». У градусах той самий зв’язок потребує додаткового множника \(\pi/180\), і калькулятор робить це автоматично: введіть кут у будь-якій із трьох підтримуваних одиниць, і він виконає перетворення за вас.
Довжина дуги трапляється всюди, де вимірюють криву: відстань, пройдена круговою трасою, довжина зігнутої труби чи згину металевого листа, кабель, намотаний на котушку, або шлях, який проходить кінчик стрілки годинника за певний час. Вона також є основою криволінійного руху у фізиці та криволінійних інтегралів у математичному аналізі.
Поширені центральні кути та їхні дуги
| Центральний кут | Частина кола | Довжина дуги |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 | \(\frac{\pi r}{6} \approx 0.524\,r\) |
| 45° | 1/8 | \(\frac{\pi r}{4} \approx 0.785\,r\) |
| 60° | 1/6 | \(\frac{\pi r}{3} \approx 1.047\,r\) |
| 90° | 1/4 | \(\frac{\pi r}{2} \approx 1.571\,r\) |
| 180° | 1/2 | \(\pi r \approx 3.142\,r\) |
| 360° | 1 | \(2\pi r \approx 6.283\,r\) |
Зауважте: для кутів до 90° дуга лише трохи довша за радіус — геометрія радіанів робить ці числа інтуїтивно зрозумілими.
Припущення, обмеження та поради
- Тільки коло. Формула \(s = r\theta\) стосується дуг кола. Для еліптичних чи довільних кривих довжину дуги доводиться обчислювати методами математичного аналізу (інтегруванням), а не цим інструментом.
- Кути, більші за повний оберт. Якщо ви введете більше ніж 360° (або \(2\pi\) рад), калькулятор усе одно поверне \(r\theta\); дуга просто обійде коло більше одного разу — рядок обчислення попередить вас про це.
- Однакові одиниці на вході й виході. Результат завжди подається в тій одиниці, яку ви обрали для радіуса. Якщо потрібна відповідь в інших одиницях, виконайте перетворення заздалегідь.
- Дуга чи сектор. Цей інструмент вимірює лише криволінійний край. Якщо вам потрібна площа «шматка пирога», обмеженого дугою та двома радіусами, скористайтеся формулою площі сектора \(A = \tfrac{1}{2}r^2\theta\).
- Від’ємні кути. Від’ємний кут трактують як орієнтацію (за годинниковою стрілкою), і довжина дуги виходить від’ємною; введіть абсолютне значення, якщо вам потрібна лише величина.
Пов’язані поняття
Довжина дуги — класичний приклад прямої пропорційності: \(s\) прямо пропорційна і \(r\), і \(\theta\), тож її графік — пряма лінія. Виконуючи фінальне множення \(r \times \theta_{\text{рад}}\) вручну, ви можете перевірити його калькулятором множення, а перетворення градусів у радіани — це звичайне ділення на \(180/\pi\).
Часті запитання
Як обчислити довжину дуги вручну, без калькулятора?
Помножте радіус на кут у радіанах: \( s = r\theta \). Якщо кут задано в градусах, спершу переведіть його за формулою \( \theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180} \). Наприклад, за \( r = 10 \) см і \( \theta = 45° \): \( 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \) рад, отже \( s = 10 \times 0.7854 = 7.854 \) см. Значення \( \pi \approx 3.1416 \) досить точне для більшості ручних обчислень.
Чим дуга відрізняється від хорди?
Дуга — це криволінійна відстань уздовж кола між двома точками, а хорда — прямолінійна відстань між ними. Для центрального кута \( \theta \) довжина хорди дорівнює \( c = 2r\sin(\theta/2) \), і вона завжди менша за дугу \( s = r\theta \). Для малих кутів вони майже рівні; при 90° і радіусі 1 дуга становить 1,571, а хорда — лише 1,414. Цей калькулятор повертає саме дугу, а не хорду.
Чи можна знайти радіус або кут, якщо довжина дуги вже відома?
Так, просто перетворіть формулу \( s = r\theta \). Радіус дорівнює \( r = s / \theta \), а кут у радіанах — \( \theta = s / r \). Щоб отримати кут у градусах, помножте радіанний результат на \( 180/\pi \). Наприклад, якщо \( s = 12 \) см і \( r = 9 \) см, то \( \theta = 12/9 \approx 1.333 \) рад \( \approx 76.4° \).
Яка довжина дуги півкола або чверті кола?
Півколо (180°) має довжину дуги \( \pi r \) — рівно половину довжини кола \( 2\pi r \). Чверть кола (90°) має довжину дуги \( \frac{\pi r}{2} \). Тому півколо з радіусом 4 м має довжину \( 4\pi \approx 12.566 \) м, а чверть кола з тим самим радіусом — приблизно 6,283 м. Ці значення прямо випливають із пропорції \( s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \), коли \( \theta \) подано в градусах.
Чи можна ввести діаметр замість радіуса?
Напряму — ні: формулі \( s = r\theta \) потрібен саме радіус. Якщо відомий діаметр \( d \), спершу поділіть його навпіл: \( r = d/2 \), а тоді обчисліть \( s = \frac{d}{2}\theta \). Наприклад, діаметр 20 см за кута 30° дає \( r = 10 \) см і \( s = 10 \cdot \frac{\pi}{6} \approx 5.236 \) см. Забути поділити діаметр навпіл — одна з найпоширеніших помилок, і вона подвоює правильну відповідь.
Чому відповідь неправильна, коли я вводжу кут у градусах?
Формула \( s = r\theta \) працює, лише коли \( \theta \) в радіанах. Якщо помножити радіус безпосередньо на значення в градусах, результат вийде надто малим: 60 градусів замість \( \pi/3 \approx 1.047 \) радіанів занижує дугу приблизно в 57 разів. Завжди перевіряйте, щоб перемикач одиниць кута відповідав вашим даним. Якщо обчислюєте вручну, переведіть градуси за формулою \( \theta \cdot \pi/180 \) перед множенням.
Як переводити гради в радіани?
Повний оберт дорівнює 400 градів, отже один град — це \( \frac{\pi}{200} \) радіана, а перетворення виконується так: \( \theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{200} \). Наприклад, 100 градів (прямий кут) дорівнюють \( \pi/2 \approx 1.5708 \) рад, що дає дугу \( \frac{\pi r}{2} \). Гради використовують переважно у геодезії та в деяких європейських інженерних практиках; у більшості побутових задач застосовують градуси або радіани.