Калькулятор розподілу Пуассона

Q: Як обчислити ймовірність Пуассона вручну без калькулятора?

Обчислюйте P(X = k) = e^-λλ^k / k! крок за кроком: знайдіть e^-λ, піднесіть λ до степеня k, перемножте їх і поділіть на k!. Наприклад, за λ = 2 і k = 3: e^-2 ≈ 0.1353, 2^3 = 8, 3! = 6, отже P(X = 3) = 0.1353 × 8 / 6 ≈ 0.1804. Для кумулятивних ймовірностей складіть окремі члени від 0 до k.

Q: Чи може λ бути десятковим або дробовим числом?

Так, λ може бути будь-яким додатним числом, включно з десятковими — цілим має бути лише k. Наприклад, якщо рідкісна помилка трапляється в середньому 0,7 раза на звіт, λ = 0.7 цілком припустиме. Дробове λ просто означає, що події рідкісні в обраному вами інтервалі. Єдині обмеження: λ > 0 і k — ціле число, 0 або більше.

Q: Яка ймовірність нульової кількості подій, P(X = 0)?

Оскільки 0! = 1 і λ^0 = 1, формула спрощується до P(X = 0) = e^-λ. За λ = 3 це e^-3 ≈ 0.0498, тобто шанс близько 5%, що подій не буде взагалі. Ця величина корисна в розрахунках надійності — наприклад, для оцінки шансу, що за зміну не станеться жодної відмови обладнання.

Q: Чому моє ручне обчислення для великого k дає 0 або величезне неправильне число?

Для великих k обидві величини λ^k і k! стають астрономічно великими і можуть спричинити переповнення калькулятора чи електронної таблиці, хоча їхнє відношення мале. Вихід — працювати з логарифмами: ln P = -λ + klnλ - ln(k!), а наприкінці обчислити експоненту. Інша поширена помилка — введення k нецілим числом або те, що e^-λ треба помножити, а не додати.

Q: Яка кількість подій найімовірніша (мода)?

Найімовірніший результат — k = lfloorλrfloor, тобто найбільше ціле число, що не перевищує λ. Якщо λ саме є цілим числом, то k = λ і k = λ - 1 однаково ймовірні. Наприклад, за λ = 4 найвищу ймовірність мають і 3, і 4 події; за λ = 4.5 єдина найімовірніша кількість — 4.

Оновлено: 02.10.2026

Обчислюйте ймовірності Пуассона за середньою інтенсивністю λ: шанс рівно k подій, імовірність діапазону або кумулятивні ймовірності «не більше / не менше», а також середнє та дисперсію.

Обчислення ймовірностей за розподілом Пуассона

Тип ймовірності

Середня інтенсивність (λ)

Середня кількість подій за інтервал (має бути додатною).

Кількість подій (k)

Ціле число подій (0 або більше).

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Ваші результати

Шукана ймовірністьP

P(X = k)P(X = k)

Кумулятивна P(X ≤ k)P(X ≤ k)

Середнєμ

Дисперсіяσ²

Інтерпретація та подробиці

Формула розподілу Пуассона

Формула

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!} \\ \[ P(X \le k) = \sum_{j=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^j}{j!} \\ \[ P(X \ge k) = 1 - \sum_{j=0}^{k-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^j}{j!} \]

Де:

\(\lambda\) — середня кількість подій за інтервал; має бути додатною
\(k\) — кількість подій; ціле число, 0 або більше
\(e \approx 2.71828\) — число Ейлера
\(k!\) — факторіал \(k\)

Перша формула дає ймовірність спостереження рівно \(k\) подій; дві суми дають кумулятивні ймовірності \(P(X \le k)\) та \(P(X \ge k)\).

Розподіл Пуассона — приклад обчислення

Приклад: кол-центр отримує в середньому \(\lambda = 3\) дзвінки за годину. Яка ймовірність отримати рівно \(k = 5\) дзвінків протягом наступної години?

\[ P(X = 5) = \frac{e^{-3} \cdot 3^5}{5!} = \frac{0.0497871 \cdot 243}{120} = \frac{12.0981}{120} \approx 0.100819 \]

Результат: \(P(X = 5) \approx 0.1008\), тобто близько 10,08%. За \(\lambda = 3\) середнє та дисперсія дорівнюють 3, а стандартне відхилення становить \(\sqrt{3} \approx 1.732\).

Як користуватися калькулятором

Оберіть Тип ймовірності: рівно k подій, діапазон між двома значеннями, не більше k подій або не менше k подій.
Введіть Середню інтенсивність (λ) — середню кількість подій за інтервал (за годину, за сторінку, за партію тощо). Вона має бути більшою за 0.
Введіть Кількість подій (k) — ціле число, 0 або більше. У режимі діапазону це значення є нижньою межею k₁.
Якщо ви обрали режим діапазону, також заповніть Верхню кількість подій (k₂), яка має бути більшою за k або рівною йому.
Зчитайте Потрібну ймовірність у верхній частині результатів, а нижче перевірте \(P(X = k)\), кумулятивне \(P(X \le k)\), середнє та дисперсію.

Що таке розподіл Пуассона?

Розподіл Пуассона описує, скільки разів випадкова подія відбувається у фіксованому інтервалі часу, простору чи об’єму, коли події відбуваються незалежно зі сталою середньою інтенсивністю. Він названий на честь французького математика Симеона Дені Пуассона і є одним із найпоширеніших дискретних розподілів імовірностей у статистиці.

Єдиний параметр, \(\lambda\), повністю описує розподіл: він водночас є і середнім, і дисперсією, тобто \(\mu = \sigma^2 = \lambda\). Класичні застосування: кількість відвідувачів, що приходять за годину, кількість одруків на сторінці, радіоактивні розпади за секунду, відвідування сайту за хвилину або страхові випадки за місяць. Якщо ви знаєте історичну середню кількість для інтервалу, формула Пуассона дозволяє оцінити ймовірність будь-якого конкретного результату.

Найімовірніший результат — близько самого \(\lambda\), а ймовірності спадають обабіч. Наприклад, за \(\lambda = 3\) отримати 2, 3 або 4 події цілком імовірно, тоді як 0 або 8 подій — рідкісно, але не неможливо. Таблиця сусідніх ймовірностей калькулятора показує цей розкид навколо обраного вами k, що допомагає зрозуміти, чи є спостережувана кількість типовою чи незвичною. Кумулятивні відповіді («не більше / не менше») часто корисніші за точні ймовірності: вони показують шанс досягнення порогу, наприклад «понад 10 відвідувань» або «не більше 1 дефекту».

Припущення, обмеження та поради

Незалежність: одна подія не повинна впливати на ймовірність іншої. Прибуття, спричинені спільною причиною (наприклад, вірусний пост, що різко збільшив відвідування), порушують це припущення.
Стала інтенсивність: \(\lambda\) має залишатися однаковою протягом усього інтервалу. Якщо інтенсивність змінюється залежно від години чи сезону, обчислюйте кожен період окремо або використовуйте іншу модель.
Лише дані підрахунку: k рахує цілі події у фіксованому інтервалі. Розподіл Пуассона не описує безперервні величини, такі як тривалості чи відстані.
Масштабування λ: якщо ви подвоюєте інтервал, подвойте \(\lambda\). Інтенсивність 3 дзвінки за годину стає \(\lambda = 6\) для двогодинного вікна або \(\lambda = 0.05\) за хвилину.
Велике λ: коли \(\lambda\) зростає (приблизно понад 20), розподіл Пуассона стає майже симетричним і добре апроксимує нормальний розподіл із середнім \(\lambda\) і дисперсією \(\lambda\).
Доповнення: пам'ятайте, що \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Відповідь «не менше» вже це враховує, тому \(P(X \ge 0)\) завжди дорівнює 100%.

Часті запитання

Як обчислити ймовірність Пуассона вручну без калькулятора?

Обчислюйте \(P(X = k) = e^{-\lambda}\lambda^k / k!\) крок за кроком: знайдіть \(e^{-\lambda}\), піднесіть \(\lambda\) до степеня \(k\), перемножте їх і поділіть на \(k!\). Наприклад, за \(\lambda = 2\) і \(k = 3\): \(e^{-2} \approx 0.1353\), \(2^3 = 8\), \(3! = 6\), отже \(P(X = 3) = 0.1353 \times 8 / 6 \approx 0.1804\). Для кумулятивних ймовірностей складіть окремі члени від 0 до \(k\).

Коли слід використовувати розподіл Пуассона замість біноміального?

Використовуйте розподіл Пуассона, коли ви рахуєте події на безперервному інтервалі (час, площа, об’єм) і знаєте лише середню інтенсивність. Використовуйте біноміальний розподіл, коли є фіксована кількість незалежних випробувань, кожне з однаковою ймовірністю успіху. Розподіл Пуассона — це насправді границя біноміального, коли кількість випробувань дуже велика, а ймовірність успіху дуже мала — поширене правило: Пуассон добре працює як наближення, коли \(n \ge 50\) і \(p \le 0.1\).

Чи може λ бути десятковим або дробовим числом?

Так, \(\lambda\) може бути будь-яким додатним числом, включно з десятковими — цілим має бути лише \(k\). Наприклад, якщо рідкісна помилка трапляється в середньому 0,7 раза на звіт, \(\lambda = 0.7\) цілком припустиме. Дробове \(\lambda\) просто означає, що події рідкісні в обраному вами інтервалі. Єдині обмеження: \(\lambda > 0\) і \(k\) — ціле число, 0 або більше.

Яка ймовірність нульової кількості подій, P(X = 0)?

Оскільки \(0! = 1\) і \(\lambda^0 = 1\), формула спрощується до \(P(X = 0) = e^{-\lambda}\). За \(\lambda = 3\) це \(e^{-3} \approx 0.0498\), тобто шанс близько 5%, що подій не буде взагалі. Ця величина корисна в розрахунках надійності — наприклад, для оцінки шансу, що за зміну не станеться жодної відмови обладнання.

Як оцінити λ на основі історичних даних?

Поділіть загальну кількість спостережуваних подій на кількість інтервалів. Якщо магазин обслуговував 150 покупців за 30 годинних періодів, то \(\lambda = 150 / 30 = 5\) покупців за годину. Чим довший період спостереження, тим стабільнішою стає ця оцінка. Пам'ятайте, що \(\lambda\), оцінене за обмеженими даними, несе в собі невизначеність, тому розглядайте отримані ймовірності як наближені, а не точні значення.

Чому моє ручне обчислення для великого k дає 0 або величезне неправильне число?

Для великих \(k\) обидві величини \(\lambda^k\) і \(k!\) стають астрономічно великими і можуть спричинити переповнення калькулятора чи електронної таблиці, хоча їхнє відношення мале. Вихід — працювати з логарифмами: \(\ln P = -\lambda + k\ln\lambda - \ln(k!)\), а наприкінці обчислити експоненту. Інша поширена помилка — введення \(k\) нецілим числом або те, що \(e^{-\lambda}\) треба помножити, а не додати.

Яка кількість подій найімовірніша (мода)?

Найімовірніший результат — \(k = \lfloor\lambda\rfloor\), тобто найбільше ціле число, що не перевищує \(\lambda\). Якщо \(\lambda\) саме є цілим числом, то \(k = \lambda\) і \(k = \lambda - 1\) однаково ймовірні. Наприклад, за \(\lambda = 4\) найвищу ймовірність мають і 3, і 4 події; за \(\lambda = 4.5\) єдина найімовірніша кількість — 4.