Калькулятор гіпергеометричного розподілу
Обчислюйте точні та кумулятивні ймовірності гіпергеометричного розподілу для вибірки без повернення. Введіть обсяг генеральної сукупності, кількість успіхів, кількість витягувань і бажану кількість успіхів.
Обчислення гіпергеометричних ймовірностей
Формула гіпергеометричного розподілу
Де:
- \(N\) — обсяг генеральної сукупності (загальна кількість елементів)
- \(K\) — кількість успіхів у генеральній сукупності (елементи з потрібною властивістю)
- \(n\) — кількість витягувань (обсяг вибірки, що формується без повернення)
- \(k\) — бажана кількість успіхів у вибірці
Формула дає ймовірність отримати рівно \(k\) успіхів у вибірці з \(n\) елементів, витягнутих без повернення зі скінченної сукупності з \(N\) елементів, серед яких \(K\) успіхів. Середнє значення та стандартне відхилення дорівнюють \(E(X) = nK/N\) і \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\).
Гіпергеометричний розподіл — приклад обчислення
Приклад: у стандартній колоді 52 карти, з яких 13 — черви. Ви витягуєте 5 карт і хочете дізнатися ймовірність отримати рівно 2 черви. Отже, \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Результат: \(P(X = 2) \approx 0.2743\), тобто близько 27,43% (приблизно 1 з 4). Кумулятивна ймовірність \(P(X \le 2)\) становить близько 90,72%, середнє значення — \(E(X) = 1.25\) черви, а стандартне відхилення — близько 0,93.
Як користуватися калькулятором
- Введіть Обсяг генеральної сукупності \(N\) — загальну кількість елементів, з яких ви робите вибірку.
- Введіть Кількість успіхів у сукупності \(K\) — скільки з цих елементів мають цікаву для вас властивість.
- Введіть Кількість витягувань (обсяг вибірки) \(n\) — скільки елементів ви витягуєте без повернення.
- Введіть Бажану кількість успіхів \(k\) — кількість успіхів, яку ви хочете отримати у вибірці.
- Прочитайте результати: точну ймовірність \(P(X = k)\), кумулятивні ймовірності \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (усі у відсотках), а також середнє значення, стандартне відхилення, формулу з підставленими значеннями та тлумачення звичайною мовою.
Що таке гіпергеометричний розподіл?
Гіпергеометричний розподіл описує кількість успіхів, які ви отримуєте, витягуючи фіксовану кількість елементів без повернення зі скінченної сукупності. Це правильна модель щоразу, коли кожне витягування змінює склад того, що залишилося, — роздавання карт з колоди, вибирання деталей з партії для контролю якості, відбір людей для опитування з невеликої групи чи витягування лотерейних номерів.
Найближчий його «родич» — біноміальний розподіл, який застосовується, коли елементи витягуються з поверненням (або з фактично нескінченної сукупності), тож кожне випробування має однакову ймовірність успіху. У гіпергеометричному розподілі кожен вилучений успіх знижує частку успіхів для наступних витягувань — саме так і відбувається зі справжньою колодою карт або скінченною партією виробів. Якщо вибірка мала порівняно із сукупністю (скажімо, менше 5–10%), обидва розподіли дають майже однакові результати.
Калькулятор одразу показує ймовірність кожного результату, що часто корисніше, ніж лише точне значення. Наприклад, контролеру якості може знадобитися \(P(X \ge k)\) — шанс знайти принаймні певну кількість дефектних деталей, — а гравцеві в карти може бути потрібна \(P(X \le k)\), шанс витягти щонайбільше кілька ключових карт. Середнє значення \(E(X) = nK/N\) показує очікувану кількість успіхів у середній вибірці; це просто обсяг вибірки, помножений на частку успіхів у сукупності.
Форма розподілу залежить від параметрів: він може бути симетричним, скошеним у бік малої кількості успіхів або скошеним у бік великої. Можливі значення \(X\) також обмежені — ви не можете витягти більше успіхів, ніж їх існує в сукупності, або більше елементів, ніж витягуєте, тож кількість успіхів обмежена діапазоном \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\). Якщо ваше \(k\) виходить за межі цього діапазону, калькулятор автоматично повертає нульову ймовірність.
Припущення, обмеження та поради
- Вибірка без повернення: модель припускає, що витягнуті елементи не повертаються до сукупності. Якщо елементи повертаються після кожного витягування, використовуйте натомість калькулятор біноміального розподілу.
- Фіксований обсяг вибірки: кількість витягувань \(n\) має бути визначена заздалегідь і залишатися незмінною. Якщо ви рахуєте події, що відбуваються випадково протягом фіксованого інтервалу часу або простору, кращим інструментом буде калькулятор розподілу Пуассона.
- Однаково ймовірні вибірки: кожен можливий набір з \(n\) елементів має мати однаковий шанс бути витягнутим. Якщо деякі елементи мають вищу ймовірність бути обраними, гіпергеометрична модель не застосовується.
- Лише цілі числа: \(N\), \(K\), \(n\) і \(k\) мають бути цілими числами, причому \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) і \(0 \le k \le n\).
- Великі сукупності: коли \(n\) мало порівняно з \(N\), гіпергеометричний розподіл добре апроксимується біноміальним (а для великих чисел — нормальним розподілом), але цей калькулятор дає точний результат без жодних наближень.
- Перевірка біноміальних коефіцієнтів: формула з підставленими значеннями використовує позначення \(\binom{a}{b}\). Ці значення можна перевірити за допомогою калькулятора перестановок і комбінацій.
- Тлумачення нульової ймовірності: результат 0% зазвичай означає, що ваше \(k\) неможливе — наприклад, ви просите 3 успіхи, коли в сукупності є лише 2 успішні елементи.
Часті запитання
Як обчислити гіпергеометричну ймовірність вручну?
Порахуйте, скількома способами можна вибрати бажані успіхи з успішних елементів \(\binom{K}{k}\), помножте на кількість способів вибрати решту витягнутих елементів з неуспішних \(\binom{N-K}{n-k}\) і поділіть на загальну кількість можливих вибірок \(\binom{N}{n}\). Для малих чисел підійдуть факторіали: \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Для більших значень використовуйте калькулятор, щоб уникнути арифметичних помилок з величезними факторіалами.
Як отримати ймовірність принаймні або щонайбільше k успіхів?
Калькулятор одразу показує всі чотири кумулятивні ймовірності. Принаймні k — це \(P(X \ge k)\); щонайбільше k — це \(P(X \le k)\). Вручну довелося б підсумувати точні ймовірності кожного результату в цьому діапазоні, наприклад \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\), що швидко стає виснажливим — саме це за вас роблять кумулятивні результати.
Чому я отримав ймовірність, що дорівнює рівно 0?
Нульовий результат майже завжди означає, що запитана кількість успіхів неможлива. Вибірка не може містити більше успіхів, ніж їх існує в сукупності (\(k \le K\)), більше успіхів, ніж витягувань (\(k \le n\)), або менше успіхів, ніж неминуче потрапляє у вибірку, коли майже вся решта елементів — успішні. Результат із підставленою формулою показує припустимий діапазон для ваших параметрів, і будь-яке \(k\) поза ним справді дає 0%.
Яка різниця між P(X = k) і P(X ≤ k)?
\(P(X = k)\) — це ймовірність отримати рівно таку кількість успіхів, наприклад рівно 2 черви з 5 карт. \(P(X \le k)\) — це ймовірність такої кількості або меншої: 0, 1 чи 2 черви. Кумулятивне значення завжди більше. Уважно дивіться, що саме вимагає ваша задача: «щонайбільше 2» означає \(P(X \le 2)\), тоді як «рівно 2» означає \(P(X = 2)\).
Чи можна використовувати цей калькулятор для лотерейних шансів?
Так — лотереї є класичним прикладом гіпергеометричної задачі: кулі витягуються без повернення зі скінченного набору. Встановіть \(N\) рівним загальній кількості куль, \(K\) — кількості чисел, які ви вгадали у своєму квитку, \(n\) — кількості куль, що розігруються, а \(k\) — кількості збігів, які вас цікавлять. Наприклад, для ігор «6 із 49» шанс на джекпот вимагає \(N = 49\), \(K = 6\), \(n = 6\), \(k = 6\).
Які найпоширеніші помилки під час введення значень?
Найбільша — плутанина в порядку: \(N\) — це вся сукупність, \(K\) — лише елементи з потрібною властивістю, а \(n\) — обсяг вибірки, а не навпаки. Ще одна часта помилка — використання гіпергеометричної моделі для витягувань зі поверненням, для яких потрібен біноміальний розподіл. Нарешті, всі чотири значення мають бути цілими числами; дробові кількості елементів чи витягувань неприпустимі.
Що насправді означає середнє E(X) = nK/N?
Це середня кількість успіхів, яку можна очікувати у вибірці, якщо повторювати витягування багато разів, — просто обсяг вибірки, помножений на частку успіхів у сукупності. Якщо 20% партії деталей дефектні, а ви перевіряєте 10, середнє становить 2 дефектні деталі. Зауважте, що окремі вибірки коливаються навколо цього значення; стандартне відхилення показує, наскільки, а середнє часто навіть не є цілим числом або найімовірнішим окремим результатом.