Kalkulator rozkładu lognormalnego

Q: Znam średnią i odchylenie standardowe surowych danych, a nie ln(X). Jak je przeliczyć?

Mając średnią z próby m i odchylenie standardowe s samej zmiennej X, przelicz parametry wzorami σ^2 = ln(1 + s^2/m^2) oraz μ = ln(m) - σ^2/2. Na przykład dla m = 2 i s = 1 otrzymasz σ^2 = ln(1.25) ≈ 0.2231 oraz μ ≈ 0.6931 - 0.1116 ≈ 0.5816. Nie wpisuj m i s bezpośrednio — to najczęstszy błąd.

Q: Jak wyznaczyć percentyle lub modę rozkładu lognormalnego?

Percentyl rzędu p to x_p = exp(μ + σ z_p), gdzie z_p jest percentylem p rozkładu normalnego standardowego — mediana odpowiada z_0.5 = 0, co daje e^μ. Moda wynosi e^μ - σ^2 i z powodu skośności prawostronnej zawsze leży poniżej mediany. Aby odwrócić znany percentyl, rozwiąż równanie μ = ln x_p - σ z_p.

Q: Jaka jest wariancja i odchylenie standardowe samej zmiennej X?

Dla zmiennej lognormalnej Var(X) = (e^σ^2 - 1) e^2μ + σ^2, a zatem SD(X) = e^μ + σ^2/2sqrte^σ^2 - 1. Zwróć uwagę, że σ nie jest odchyleniem standardowym X — opisuje jedynie rozrzut na skali logarytmicznej. Dla μ = 0 i σ = 0.5: SD(X) ≈ 1.1331 × 0.5311 ≈ 0.602, podczas gdy samo σ = 0.5.

Q: Dlaczego średnia X jest większa od mediany i którą warto podawać?

Rozkład lognormalny jest prawostronnie skośny: średnia = e^μ + σ^2/2, mediana = e^μ, moda = e^μ - σ^2, dlatego zawsze zachodzi średnia > mediana > moda. Różnica między nimi rośnie wraz ze σ, bo kilka skrajnych wartości w długim ogonie ciągnie średnią w górę. Przy opisywaniu „typowej” wartości — dochodów, cen, rozmiarów cząstek — mediana jest zwykle bardziej odporna na wartości skrajne i lepiej reprezentuje dane.

Zaktualizowano: 8 października 2026

Wpisz średnią i odchylenie standardowe ln(X), aby obliczyć prawdopodobieństwa rozkładu lognormalnego: gęstość i dystrybuantę w punkcie albo prawdopodobieństwo w przedziale, a także średnią i medianę X.

Prawdopodobieństwa dla zmiennej lognormalnej

Bazowa zmienna normalna ln(X)

Średnia ln(X)

Średnia μ rozkładu normalnego ln(X) — a nie średnia samej zmiennej X. Mediana X jest równa e^μ.

Odchylenie standardowe ln(X)

Odchylenie standardowe σ ln(X); większe wartości oznaczają cięższy prawy ogon X.

Co obliczyć

Obliczaj automatyczniePo włączeniu wynik aktualizuje się automatycznie po zmianie dowolnej wartości.

Prawdopodobieństwa i parametry

Gęstość w punkcief(x)

Dystrybuanta P(X ≤ wartość)F(x)

Prawdopodobieństwo na przedziale P(a ≤ X ≤ b)P(a≤X≤b)

Średnia XE(X)

Mediana XMed(X)

Med(X)

Wzór na rozkład lognormalny

Wzór

\[ f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0 \\ F(x) = P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) \\ P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{\ln b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{\ln a - \mu}{\sigma}\right) \\ E(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}, \quad \mathrm{Med}(X) = e^{\mu} \]

Oznaczenia:

\(\mu\) — średnia rozkładu normalnego opisującego \(\ln(X)\) (a nie średnia samej zmiennej \(X\))
\(\sigma\) — odchylenie standardowe \(\ln(X)\), przy czym \(\sigma > 0\)
\(x, a, b\) — dodatnie wartości zmiennej lognormalnej \(X\)
\(\Phi\) — dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

Zmienna \(X\) ma rozkład lognormalny wtedy, gdy jej logarytm naturalny \(\ln(X)\) ma rozkład normalny. Każde prawdopodobieństwo dla \(X\) można więc wyznaczyć dokładnie, przechodząc na skalę normalną: odejmij \(\mu\), podziel przez \(\sigma\) i odczytaj wynik z dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego.

Rozkład lognormalny – przykład obliczenia

Przykład: zmienna lognormalna o parametrach \(\mu = 0\) i \(\sigma = 0.5\) dla \(\ln(X)\). Jakie są gęstość i dystrybuanta w punkcie \(x = 2\)?

\[ z = \frac{\ln x - \mu}{\sigma} = \frac{\ln 2 - 0}{0.5} = \frac{0.6931}{0.5} \approx 1.3863 \]

\[ F(2) = \Phi(1.3863) \approx 0.9172, \qquad f(2) = \frac{e^{-(1.3863)^2/2}}{2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{0.3825}{2.5066} \approx 0.1526 \]

Wynik: \(f(2) \approx 0.1526\), \(P(X \le 2) \approx 0.9172\) (czyli 91,72%), a zatem \(P(X > 2) \approx 8.28\%\). Parametry rozkładu wynoszą \(E(X) = e^{0 + 0.125} \approx 1.1331\) oraz \(\mathrm{Med}(X) = e^{0} = 1\).

Jak korzystać z kalkulatora

Wpisz średnią ln(X) (\(\mu\)) — chodzi o średnią logarytmów, a nie surowych wartości.
Wpisz odchylenie standardowe ln(X) (\(\sigma\)); musi być większe od 0.
W polu Co obliczyć wybierz opcję Prawdopodobieństwo dla pojedynczej wartości x albo Prawdopodobieństwo w przedziale [a, b].
Dla pojedynczej wartości podaj wartość X; dla przedziału podaj granicę dolną i granicę górną. Wszystkie wartości \(X\) muszą być dodatnie.
Odczytaj wyniki: gęstość \(f(x)\), dystrybuantę \(F(x)\) lub prawdopodobieństwo w przedziale wraz ze średnią i medianą \(X\). W bloku interpretacji zobaczysz także prawdopodobieństwo dopełniające i modę.

Czym jest rozkład lognormalny?

Rozkład lognormalny opisuje dodatnią wielkość rosnącą multiplikatywnie — czyli skumulowany efekt wielu niezależnych zmian procentowych. Ponieważ sterująca nią wielkość \(\ln(X)\) ma rozkład normalny, sama zmienna \(X\) nigdy nie przyjmuje zera ani wartości ujemnych, a jej rozkład ma długi prawy ogon. Typowe przykłady to ceny akcji i stopy zwrotu w czasie, dochody gospodarstw domowych, wielkości miast, sumy opadów, czasy pracy do uszkodzenia w badaniach niezawodności oraz rozmiary cząstek czy kropel w inżynierii.

O kształcie rozkładu na skali logarytmicznej decydują dwa parametry: \(\mu\) przesuwa cały rozkład (mediana \(X\) to dokładnie \(e^{\mu}\)), a \(\sigma\) określa rozrzut. Im większe \(\sigma\), tym cięższy prawy ogon i silniejsza asymetria, dzięki czemu kilka bardzo dużych obserwacji potrafi znacznie podnieść średnią ponad medianę.

Przydatnym sposobem interpretacji wyników jest kolejność średnia > mediana > moda — to znak rozkładu prawostronnie skośnego. W powyższym przykładzie mediana wynosi 1, a średnia około 1,1331 — różnicę powoduje wyłącznie ogon po prawej stronie. Jeśli Twoje dane wykazują taki wzorzec (sprawdź to kalkulatorem skośności i kurtozy), model lognormalny często okazuje się naturalnym wyborem. Aby szybko przypomnieć sobie, jak prawdopodobieństwa skumulowane przekładają się na szanse zdarzeń, zajrzyj do kalkulatora prawdopodobieństwa.

Założenia, ograniczenia i praktyczne wskazówki

Parametry dotyczą skali logarytmicznej. Najczęstszy błąd to wpisanie średniej lub odchylenia standardowego surowych danych \(X\). Jeśli znasz tylko \(E(X)\) i \(\mathrm{Med}(X)\), odwróć zależności: \(\mu = \ln(\mathrm{Med})\) oraz \(\sigma^2 = 2\ln\!\left(E(X)/\mathrm{Med}(X)\right)\).
X musi być dodatnie. Rozkład lognormalny przypisuje wartościom niedodatnim prawdopodobieństwo zerowe; kalkulator odrzuca granice równe 0 lub mniejsze.
Prawdopodobieństwa są dokładne, a nie symulowane. Pochodzą z dystrybuanty rozkładu normalnego zastosowanej do \((\ln x - \mu)/\sigma\), więc są tak dokładne, jak podane przez Ciebie parametry.
Wartości z ogona bywają mylące. Przy dużym \(\sigma\) średnia leży daleko w ogonie; mediana zwykle lepiej opisuje „typową” wartość.
Pokrewne modele. Jeśli modelujesz liczby zdarzeń, czasy między rzadkimi zdarzeniami lub czasy życia przy stałej intensywności uszkodzeń, rozważ zamiast tego kalkulatory rozkładu Poissona lub rozkładu wykładniczego.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwo z rozkładu lognormalnego ręcznie?

Oblicz logarytm naturalny swojej wartości: dla prawdopodobieństwa w punkcie wyznacz wynik standaryzowany \(z = (\ln x - \mu)/\sigma\), a następnie odczytaj \(\Phi(z)\) z tablic rozkładu normalnego standardowego. Dla przedziału zrób to samo dla obu granic i odejmij: \(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). Gęstość wyraża się wzorem \(f(x) = e^{-z^2/2}/(x\,\sigma\sqrt{2\pi})\). Kalkulator wykonuje dokładnie tę procedurę automatycznie.

Znam średnią i odchylenie standardowe surowych danych, a nie ln(X). Jak je przeliczyć?

Mając średnią z próby \(m\) i odchylenie standardowe \(s\) samej zmiennej X, przelicz parametry wzorami \(\sigma^2 = \ln(1 + s^2/m^2)\) oraz \(\mu = \ln(m) - \sigma^2/2\). Na przykład dla \(m = 2\) i \(s = 1\) otrzymasz \(\sigma^2 = \ln(1.25) \approx 0.2231\) oraz \(\mu \approx 0.6931 - 0.1116 \approx 0.5816\). Nie wpisuj \(m\) i \(s\) bezpośrednio — to najczęstszy błąd.

Czy zamiast logarytmu naturalnego mogę użyć logarytmu o podstawie 10?

Standardowa definicja rozkładu lognormalnego opiera się na logarytmie naturalnym — i ten kalkulator oczekuje \(\mu\) i \(\sigma\) na skali logarytmu naturalnego. Jeśli Twoje parametry pochodzą z logarytmów dziesiętnych, przelicz je: \(\mu = \mu_{10} \cdot \ln 10 \approx 2.3026\,\mu_{10}\), a ten sam współczynnik dotyczy \(\sigma\). Wartości \(x\), \(a\) i \(b\) nie wymagają przeliczania — dotyczy to wyłącznie parametrów.

Jak wyznaczyć percentyle lub modę rozkładu lognormalnego?

Percentyl rzędu p to \(x_p = \exp(\mu + \sigma\,z_p)\), gdzie \(z_p\) jest percentylem p rozkładu normalnego standardowego — mediana odpowiada \(z_{0.5} = 0\), co daje \(e^{\mu}\). Moda wynosi \(e^{\mu - \sigma^2}\) i z powodu skośności prawostronnej zawsze leży poniżej mediany. Aby odwrócić znany percentyl, rozwiąż równanie \(\mu = \ln x_p - \sigma z_p\).

Jaka jest wariancja i odchylenie standardowe samej zmiennej X?

Dla zmiennej lognormalnej \(\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)\,e^{2\mu + \sigma^2}\), a zatem \(\mathrm{SD}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1}\). Zwróć uwagę, że \(\sigma\) nie jest odchyleniem standardowym X — opisuje jedynie rozrzut na skali logarytmicznej. Dla \(\mu = 0\) i \(\sigma = 0.5\): SD(X) \(\approx 1.1331 \times 0.5311 \approx 0.602\), podczas gdy samo \(\sigma = 0.5\).

Dlaczego średnia X jest większa od mediany i którą warto podawać?

Rozkład lognormalny jest prawostronnie skośny: średnia \(= e^{\mu + \sigma^2/2}\), mediana \(= e^{\mu}\), moda \(= e^{\mu - \sigma^2}\), dlatego zawsze zachodzi średnia > mediana > moda. Różnica między nimi rośnie wraz ze \(\sigma\), bo kilka skrajnych wartości w długim ogonie ciągnie średnią w górę. Przy opisywaniu „typowej” wartości — dochodów, cen, rozmiarów cząstek — mediana jest zwykle bardziej odporna na wartości skrajne i lepiej reprezentuje dane.

Jakie błędy najczęściej popełnia się przy pracy z prawdopodobieństwami lognormalnymi?

Najczęstsze błędy to: wpisanie średniej i odchylenia standardowego surowych danych zamiast \(\ln(X)\); użycie zerowych lub ujemnych granic (X musi być ściśle dodatnie); przeoczenie faktu, że \(\sigma\) musi być dodatnie; oraz mylenie gęstości \(f(x)\) (która może przekraczać 1 i ma jednostki 1/x) z prawdopodobieństwem \(F(x)\). Sprawdź też, czy Twoje dane nie pasują lepiej do rozkładu gamma lub Weibulla — lognormalny to tylko jedna z opcji dla dodatnich danych o skośnym rozkładzie.