Calculadora de Distribuição Uniforme
Calcule probabilidades, densidade, probabilidade acumulada, média, variância e desvio padrão para uma distribuição uniforme contínua X ~ U(a, b). Introduza os limites, um ponto x e um intervalo [c, d].
Calcular Probabilidades da Distribuição Uniforme
Fórmula da Distribuição Uniforme
Onde:
- \(a\) — limite inferior do suporte (menor valor possível)
- \(b\) — limite superior do suporte (maior valor possível)
- \(x\) — ponto no qual a densidade e a probabilidade acumulada são avaliadas
- \(c, d\) — limites do intervalo para o cálculo da probabilidade
- \(f(x)\) — função densidade de probabilidade
- \(F(x)\) — função de distribuição acumulada
- \(\mu, \sigma^2, \sigma\) — média, variância e desvio padrão
A distribuição uniforme (retangular) descreve uma variável aleatória para a qual todo valor no intervalo \([a, b]\) é igualmente provável. A densidade é uma constante \(1/(b-a)\) no suporte e zero fora dele, pelo que qualquer probabilidade se reduz a uma razão de comprimentos de intervalos.
Distribuição Uniforme – Exemplo de Cálculo
Exemplo: um ônibus chega a uma parada num momento uniformemente aleatório entre 0 e 10 minutos depois da hora. Qual é a probabilidade de chegar entre o 3.º e o 7.º minuto, e qual é a probabilidade acumulada exatamente aos 4 minutos? Aqui \(a = 0\), \(b = 10\), \(x = 4\), \(c = 3\), \(d = 7\).
\[ f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{10 - 0} = 0.1 \quad \text{para } 0 \le x \le 10 \]
\[ P(3 \le X \le 7) = \frac{\min(7, 10) - \max(3, 0)}{10 - 0} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
\[ F(4) = P(X \le 4) = \frac{4 - 0}{10 - 0} = 0.4 \]
\[ \mu = \frac{0 + 10}{2} = 5, \qquad \sigma^2 = \frac{(10 - 0)^2}{12} \approx 8.333333, \qquad \sigma \approx 2.886751 \]
Resultado: a probabilidade de chegar entre o 3.º e o 7.º minuto é 0,4 (40%); a probabilidade acumulada aos 4 minutos é 0,4. O ponto médio de espera é 5 minutos, com uma variância de ≈ 8,333333 e um desvio padrão de ≈ 2,886751 minutos.
Como usar a calculadora
- Introduza o Limite inferior (a) — o menor valor que a variável pode assumir.
- Introduza o Limite superior (b) — o maior valor possível. Deve ser maior do que a.
- Introduza o Valor (x) no qual deseja avaliar a densidade \(f(x)\) e a probabilidade acumulada \(F(x)\).
- Introduza o Limite inferior (c) e o Limite superior (d) do intervalo cuja probabilidade pretende. Se só precisa de um resultado pontual, pode definir c = d = x.
- Leia os resultados: probabilidade do intervalo \(P(c \le X \le d)\), densidade \(f(x)\), probabilidade acumulada \(F(x)\), média, variância, desvio padrão, além de uma interpretação completa com todas as fórmulas substituídas pelos seus valores.
O que é a distribuição uniforme?
A distribuição uniforme contínua, escrita \(X \sim U(a, b)\), é a mais simples de todas as distribuições de probabilidade contínuas. Modela situações em que um resultado tem a mesma probabilidade de ocorrer em qualquer ponto de um intervalo: um ponto aleatório escolhido num segmento, um pião que para num ângulo aleatório, um gerador de números aleatórios de computador produzindo um valor entre 0 e 1, ou um evento cujo momento é completamente imprevisível dentro de uma janela conhecida.
Como a densidade é plana — uma constante \(1/(b-a)\) ao longo de todo o suporte — as probabilidades tornam-se uma questão de comprimentos. A probabilidade de X cair num intervalo \([c, d]\) é simplesmente o comprimento da interseção entre \([c, d]\) e \([a, b]\), dividido pela largura total \(b - a\). É por isso que a distribuição também é chamada de distribuição retangular: o seu gráfico de densidade é um retângulo, e a probabilidade corresponde à área de uma fatia desse retângulo.
A probabilidade acumulada \(F(x) = P(X \le x)\) cresce linearmente de 0 em \(x = a\) até 1 em \(x = b\). No nosso exemplo, \(F(4) = 0.4\) significa que há 40% de probabilidade de o valor ser 4 ou menos. Note que, numa distribuição contínua, a probabilidade de obter um valor exato é sempre zero — \(P(X = 4) = 0\) — e é por isso que trabalhamos com intervalos e não com pontos.
As estatísticas de resumo têm uma interpretação natural: a média \((a+b)/2\) é simplesmente o ponto médio do intervalo, e o desvio padrão \((b-a)/\sqrt{12} \approx 0.289 \cdot (b-a)\) mede a dispersão típica dos valores em torno desse ponto médio. Distribuições uniformes com suportes mais largos são proporcionalmente mais dispersas.
Pressupostos, limitações e dicas
- Apenas contínua. Esta calculadora trata da distribuição uniforme contínua. Um modelo discreto com resultados separados igualmente prováveis (como um dado equilibrado) requer um cálculo diferente.
- O recorte é automático. Se o seu intervalo \([c, d]\) se estende para além do suporte \([a, b]\), a calculadora recorta-o: as partes fora de \([a, b]\) contribuem com probabilidade zero. Se o intervalo estiver totalmente fora do suporte, a probabilidade é 0.
- Probabilidades pontuais são zero. Para qualquer valor exato \(x\), \(P(X = x) = 0\). Apenas intervalos têm probabilidade; a densidade \(f(x)\) é uma altura, não uma probabilidade.
- Unidades. A média e o desvio padrão têm as mesmas unidades que a variável; a densidade tem unidades recíprocas (1 por unidade).
- A uniformidade tem de ser justificada. Os dados reais raramente são perfeitamente uniformes. Antes de usar este modelo, verifique se o pressuposto de igual probabilidade em todo o intervalo é razoável — por exemplo, com um histograma ou por comparação com uma distribuição normal.
Ferramentas relacionadas: para calcular a dispersão de amostras de dados reais, veja a calculadora de variância e a calculadora de desvio padrão; para outros modelos de probabilidade comuns, experimente a calculadora de distribuição binomial e a calculadora de distribuição de Poisson.
Perguntas frequentes
Como calcular manualmente uma probabilidade da distribuição uniforme?
Divida o comprimento do intervalo que lhe interessa pela largura total do suporte: \(P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}\), depois de primeiro recortar \([c, d]\) para que fique dentro de \([a, b]\). Por exemplo, com \(X \sim U(0, 10)\), a probabilidade de cair entre 2 e 5 é \((5-2)/10 = 0.3\). Não são precisas tabelas nem integrais — é apenas uma razão de comprimentos.
Por que a variância é (b − a)² / 12?
O fator 12 vem da integração de \((x - \mu)^2\) sobre uma densidade constante: \(\sigma^2 = \int_a^b (x - \mu)^2 \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{(b-a)^2}{12}\). É um resultado exato da forma retangular, não uma aproximação. Uma verificação rápida: o desvio padrão é sempre cerca de 29% da largura do intervalo, já que \(1/\sqrt{12} \approx 0.289\).
A distribuição uniforme é o mesmo que a distribuição normal?
Não. Uma distribuição uniforme tem densidade plana — todo valor em \([a, b]\) é igualmente provável — enquanto uma distribuição normal tem forma de sino, com valores concentrados em torno da média e caudas que se estendem ao infinito. A uniforme não tem caudas e sim cortes rígidos em \(a\) e \(b\). Use a uniforme quando os resultados são igualmente prováveis ao longo de um intervalo; use a normal quando muitos pequenos efeitos independentes se somam.
Posso usar esta calculadora para um dado equilibrado ou lançamentos de moeda?
Não — esses são casos de distribuições uniformes discretas, em que resultados separados têm cada um probabilidade igual a \(1/n\). Esta calculadora trata do caso contínuo, em que a probabilidade de qualquer valor exato isolado é zero. Para um dado equilibrado de seis faces, \(P(X = 3) = 1/6\), mas para uma variável contínua \(U(0, 6)\), \(P(X = 3) = 0\) — apenas intervalos como \(P(2.9 \le X \le 3.1)\) têm probabilidade não nula.
Como encontrar o valor x para uma dada probabilidade acumulada?
Inverta a CDF: \(x = a + p \cdot (b - a)\), onde \(p\) é a probabilidade desejada entre 0 e 1. Por exemplo, se \(X \sim U(0, 10)\) e quer o valor excedido apenas 25% das vezes, resolva \(F(x) = 0.75\): \(x = 0 + 0.75 \cdot 10 = 7.5\). Esta inversão linear é uma das razões pelas quais a distribuição uniforme é fácil de usar.
O que acontece se o meu intervalo [c, d] sair do suporte [a, b]?
As partes fora de \([a, b]\) contribuem com probabilidade zero, pelo que o intervalo é recortado para a interseção. Apenas conta de \(\max(c, a)\) até \(\min(d, b)\). Se \([c, d]\) estiver totalmente fora do suporte, a probabilidade é exatamente 0. Por exemplo, para \(U(0, 10)\), \(P(8 \le X \le 15) = (10 - 8)/10 = 0.2\), e não \((15-8)/10\).
Qual é um erro comum ao ler a densidade f(x)?
Tratar a densidade como uma probabilidade. O valor \(f(x) = 1/(b-a)\) é uma altura, não uma chance, e pode até exceder 1 em intervalos estreitos (por exemplo, \(U(0, 0.5)\) tem densidade 2). Apenas áreas sob a densidade dão probabilidades. Outro erro frequente é esquecer que a média é o ponto médio \((a+b)/2\), independentemente de onde os valores se concentram — numa distribuição uniforme não há concentração.