Kalkulator rozkładu dwumianowego

Q: Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwumianowe ręcznie, bez kalkulatora?

Użyj wzoru P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Najpierw oblicz współczynnik dwumianowy, na przykład binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Następnie pomnóż przez p^k i (1-p)^n-k . Dla małych n możesz też wypisać wszystkie wyniki, ale wartości silni rosną ekstremalnie szybko, więc ręczne obliczenia stają się niepraktyczne powyżej około n = 20 .

Q: Jaka jest różnica między „co najmniej”, „co najwyżej” a „dokładnie” k sukcesów?

„Dokładnie” to pojedyncze prawdopodobieństwo: P(X = k) . „Co najwyżej” oznacza k lub mniej: P(X ≤ k) . „Co najmniej” oznacza k lub więcej: P(X ≥ k) . Częstym błędem jest mylenie „co najmniej k” z „więcej niż k” — pierwsze obejmuje samo k, drugie to P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) . Blok interpretacji w wynikach pokazuje obie wersje.

Q: Jak przeliczyć kursy lub szanse typu „1 na N” na prawdopodobieństwo p?

Kalkulator oczekuje p podanego jako procent. Jeśli masz kurs „a do b”, przelicz go wzorem p = a/(a+b) i pomnóż przez 100. Szansa „1 na 6” (jak rzut kostką) oznacza p ≈ 16.67% ; „1 na 100” oznacza wpisanie 1. Prawdopodobieństwa dziesiętne przeliczasz bezpośrednio: 0,35 to 35%.

Q: Co mówi mi średnia np i czy rzeczywisty wynik może być od niej daleko?

Średnia μ = np to oczekiwana średnia liczba sukcesów przy wielu powtórzeniach — a nie predykcja dla pojedynczego eksperymentu. Poszczególne wyniki mieszczą się zazwyczaj w przedziale około μ ± 2σ (mniej więcej w 95% przypadków), gdzie σ = √(np(1-p)) . Na przykład przy n = 100, p = 0.5: spodziewaj się około 50 sukcesów, zwykle między 40 a 60.

Zaktualizowano: 4 października 2026

Oblicz prawdopodobieństwa dwumianowe: P(X = k), skumulowane P(X ≤ k), P(X ≥ k) lub przedział liczby sukcesów. Podaj liczbę prób, prawdopodobieństwo sukcesu oraz k, aby otrzymać także średnią, wariancję i odchylenie standardowe.

Oblicz prawdopodobieństwa dwumianowe

Wzór na rozkład dwumianowy

Wzór

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Gdzie:

\(n\) — liczba niezależnych prób
\(p\) — prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie (od 0 do 1)
\(k\) — interesująca nas liczba sukcesów (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — współczynnik dwumianowy, czyli liczba sposobów wybrania \(k\) sukcesów spośród \(n\) prób
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — średnia, wariancja i odchylenie standardowe rozkładu

Pierwszy wzór opisuje funkcję prawdopodobieństwa (pmf): szansę na dokładnie \(k\) sukcesów w \(n\) próbach. Drugi podaje dystrybuantę (cdf), czyli szansę na co najwyżej \(k\) sukcesów, uzyskaną przez zsumowanie pmf od 0 do \(k\).

Rozkład dwumianowy – przykład obliczenia

Przykład: rzucamy uczciwą monetą 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia dokładnie 5 orłów? Tu \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Wynik: P(X = 5) = 0,246094 (24,61%), P(X ≤ 5) = 0,623047 (62,30%), P(X ≥ 5) = 0,623047 (62,30%), średnia = 5, wariancja = 2,5, odchylenie standardowe ≈ 1,5811.

Jak korzystać z kalkulatora

Wpisz Liczbę prób (n) — liczba całkowita od 1 do 10 000.
Wpisz Prawdopodobieństwo sukcesu (p) jako procent od 0% do 100% (np. wpisz 50 dla uczciwej monety).
Wybierz tryb w sekcji Interesująca nas liczba sukcesów: „Dokładnie k sukcesów” dla pojedynczej wartości lub „Między k₁ a k₂ sukcesów” dla przedziału.
Wpisz Liczbę sukcesów (k). W trybie przedziałowym jest to dolna granica k₁.
Jeśli wybrałeś tryb przedziałowy, wpisz także Górną granicę (k₂), która musi wynosić co najmniej k₁.
Odczytaj wyniki: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), a w trybie przedziałowym także P(k₁ ≤ X ≤ k₂), oraz średnią, wariancję i odchylenie standardowe. Blok interpretacji podaje również prawdopodobieństwa uzupełniające, takie jak P(X < k) i P(X > k).

Czym jest rozkład dwumianowy?

Rozkład dwumianowy modeluje liczbę sukcesów w ustalonej liczbie niezależnych prób, gdzie każda próba ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu \(p\). Każda próba ma dokładnie dwa wyniki — sukces lub porażkę — dlatego nazywa się ją próbą Bernoulliego. Klasyczne przykłady to liczba orłów w serii rzutów monetą, liczba wadliwych sztuk w próbie lub liczba pacjentów reagujących na leczenie.

Średnia rozkładu to \(\mu = np\): średnio oczekujemy \(n \cdot p\) sukcesów. Rozrzut mierzy wariancja \(\sigma^2 = np(1-p)\) oraz odchylenie standardowe \(\sigma\). Gdy \(p = 0.5\), rozkład jest symetryczny względem \(n/2\); gdy \(p\) jest bliskie 0 lub 1, staje się skośny, koncentrując się w pobliżu 0 lub \(n\).

Kalkulator rozróżnia prawdopodobieństwa dokładne i skumulowane. Funkcja pmf odpowiada na pytanie „jakie są szanse na dokładnie k sukcesów”, a dystrybuanta — „jakie są szanse na co najwyżej k sukcesów”. W praktyce wartości skumulowane są często bardziej użyteczne: jeśli np. k jest progiem jakości, P(X ≤ k) mówi, jakie jest prawdopodobieństwo pozostania w limicie, a 1 − P(X ≤ k) — prawdopodobieństwo jego przekroczenia. Zwróć uwagę, że P(X ≥ k) obejmuje samo k; jeśli potrzebujesz ściśle więcej niż k, użyj P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), podanego w bloku interpretacji.

Założenia, ograniczenia i wskazówki

Ustalona liczba prób. \(n\) musi być określone z góry. Jeśli sama liczba prób jest losowa, bardziej odpowiedni jest inny model (np. rozkład Poissona).
Niezależność. Wynik jednej próby nie może wpływać na inną. Losowanie bez zwracania z małej populacji łamie tę zasadę; użyj wówczas rozkładu hipergeometrycznego.
Stałe prawdopodobieństwo sukcesu. \(p\) musi być takie samo w każdej próbie. Jeśli zmienia się z próby na próbę, model dwumianowy przestaje obowiązywać.
Duże n. Kalkulator stosuje numerycznie stabilną metodę opartą na funkcji log-gamma, więc radzi sobie z dużymi \(n\) (do 10 000) bez przepełnienia. Dla bardzo małych prawdopodobieństw wynik jest pokazywany w notacji naukowej.
Interpretacja maleńkich prawdopodobieństw. Wynik typu „≈ 0%” nie oznacza niemożliwości — może jedynie znaczyć, że prawdopodobieństwo jest mniejsze niż około \(10^{-8}\). Sprawdź wartość dziesiętną podaną obok procentu.
Reguła kciuka dla przybliżenia. Dla dużych \(n\), gdy \(np\) i \(n(1-p)\) są oba większe od około 5, rozkład dwumianowy jest dobrze przybliżany rozkładem normalnym o średniej \(np\) i odchyleniu standardowym \(\sqrt{np(1-p)}\) — przydatne do szybkich szacunków w pamięci.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwumianowe ręcznie, bez kalkulatora?

Użyj wzoru \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Najpierw oblicz współczynnik dwumianowy, na przykład \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Następnie pomnóż przez \( p^k \) i \( (1-p)^{n-k} \). Dla małych \( n\) możesz też wypisać wszystkie wyniki, ale wartości silni rosną ekstremalnie szybko, więc ręczne obliczenia stają się niepraktyczne powyżej około \( n = 20 \).

Jaka jest różnica między „co najmniej”, „co najwyżej” a „dokładnie” k sukcesów?

„Dokładnie” to pojedyncze prawdopodobieństwo: \( P(X = k) \). „Co najwyżej” oznacza \( k\) lub mniej: \( P(X \le k) \). „Co najmniej” oznacza \( k\) lub więcej: \( P(X \ge k) \). Częstym błędem jest mylenie „co najmniej \( k\)” z „więcej niż \( k\)” — pierwsze obejmuje samo \( k\), drugie to \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). Blok interpretacji w wynikach pokazuje obie wersje.

Jak przeliczyć kursy lub szanse typu „1 na N” na prawdopodobieństwo p?

Kalkulator oczekuje \( p\) podanego jako procent. Jeśli masz kurs „a do b”, przelicz go wzorem \( p = \frac{a}{a+b} \) i pomnóż przez 100. Szansa „1 na 6” (jak rzut kostką) oznacza \( p \approx 16.67\% \); „1 na 100” oznacza wpisanie 1. Prawdopodobieństwa dziesiętne przeliczasz bezpośrednio: 0,35 to 35%.

Jak znaleźć prawdopodobieństwo przedziału, np. między 3 a 7 sukcesami?

Wybierz tryb „Między k₁ a k₂ sukcesów”, wpisz 3 jako liczbę sukcesów i 7 jako górną granicę. Kalkulator oblicza \( P(k_1 \le X \le k_2) \), sumując poszczególne prawdopodobieństwa. Ręcznie ten sam wynik uzyskasz ze wzoru \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Obie granice są włączone, więc przedział 3–7 obejmuje 3, 4, 5, 6 i 7 sukcesów.

Kiedy używać rozkładu dwumianowego zamiast Poissona, normalnego lub hipergeometrycznego?

Użyj rozkładu dwumianowego, gdy liczba prób jest ustalona, a wyniki niezależne przy stałym \( p\). Rozkładu hipergeometrycznego używaj przy losowaniu bez zwracania z małej populacji (np. dobieranie kart). Rozkładu Poissona używaj przy zliczaniu zdarzeń w ustalonym przedziale czasu, a nie w ustalonej liczbie prób. Rozkład normalny jest przybliżeniem — dokładnym, gdy \( np\) i \( n(1-p)\) są oba większe od 5.

Co mówi mi średnia np i czy rzeczywisty wynik może być od niej daleko?

Średnia \( \mu = np \) to oczekiwana średnia liczba sukcesów przy wielu powtórzeniach — a nie predykcja dla pojedynczego eksperymentu. Poszczególne wyniki mieszczą się zazwyczaj w przedziale około \( \mu \pm 2\sigma \) (mniej więcej w 95% przypadków), gdzie \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Na przykład przy \( n = 100\), \( p = 0.5\): spodziewaj się około 50 sukcesów, zwykle między 40 a 60.

Dlaczego mój wynik jest pokazany jako „≈ 0%” — czy ten wynik naprawdę jest niemożliwy?

Nie, nie jest niemożliwy. „≈ 0%” oznacza jedynie, że prawdopodobieństwo jest mniejsze niż około \( 10^{-8} \). Sprawdź wartość dziesiętną wyświetlaną obok procentu — bardzo małe prawdopodobieństwa pojawiają się w notacji naukowej, np. \( 2.5 \times 10^{-12} \). Przy dużych \( n\) wartości odległe od średniej \( np\) mogą być astronomicznie mało prawdopodobne, ale wciąż matematycznie możliwe.