Kalkulator rozkładu hipergeometrycznego
Oblicz dokładne i skumulowane prawdopodobieństwa hipergeometryczne dla losowania bez zwracania. Podaj liczebność populacji, liczbę sukcesów, liczbę losowań i oczekiwaną liczbę sukcesów.
Obliczanie prawdopodobieństw hipergeometrycznych
Wzór rozkładu hipergeometrycznego
Gdzie:
- \(N\) — liczebność populacji (łączna liczba elementów)
- \(K\) — liczba sukcesów w populacji (elementy o pożądanej cechu)
- \(n\) — liczba losowań (liczebność próby, losowanej bez zwracania)
- \(k\) — oczekiwana liczba sukcesów w próbie
Wzór podaje prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie \(k\) sukcesów w próbie liczącej \(n\) elementów, losowanej bez zwracania ze skończonej populacji \(N\) elementów zawierającej \(K\) sukcesów. Średnia i odchylenie standardowe wynoszą \(E(X) = nK/N\) oraz \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\).
Rozkład hipergeometryczny – przykład obliczenia
Przykład: standardowa talia ma 52 karty, z czego 13 to kiery. Dobierasz 5 kart i chcesz znać prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 kierów. Mamy więc \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Wynik: \(P(X = 2) \approx 0.2743\), czyli około 27,43% (mniej więcej 1 na 4). Prawdopodobieństwo skumulowane \(P(X \le 2)\) wynosi około 90,72%, średnia to \(E(X) = 1.25\) kierów, a odchylenie standardowe około 0,93.
Jak korzystać z kalkulatora
- Wpisz liczebność populacji \(N\) — łączną liczbę elementów, z których losujesz.
- Wpisz liczbę sukcesów w populacji \(K\) — ile z tych elementów ma interesującą Cię cechę.
- Wpisz liczbę losowań (liczebność próby) \(n\) — ile elementów losujesz bez zwracania.
- Wpisz oczekiwaną liczbę sukcesów \(k\) — liczbę sukcesów, których oczekujesz w próbie.
- Odczytaj wyniki: dokładne prawdopodobieństwo \(P(X = k)\), prawdopodobieństwa skumulowane \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (wszystkie w procentach), a także średnią, odchylenie standardowe, wzór z podstawionymi wartościami oraz interpretację opisową.
Czym jest rozkład hipergeometryczny?
Rozkład hipergeometryczny opisuje liczbę sukcesów uzyskanych przy losowaniu ustalonej liczby elementów bez zwracania ze skończonej populacji. Jest właściwym modelem zawsze wtedy, gdy każde losowanie zmienia skład tego, co pozostało — rozdawanie kart z talii, pobieranie części z partii do kontroli jakości, wybieranie osób do ankiety z małej grupy czy losowanie liczb lotto.
Jego najbliższym krewnym jest rozkład dwumianowy, który obowiązuje, gdy elementy losuje się ze zwracaniem (lub z populacji praktycznie nieskończonej), dzięki czemu każde doświadczenie ma to samo prawdopodobieństwo sukcesu. W rozkładzie hipergeometrycznym każdy usunięty sukces obniża częstość sukcesów dla kolejnych losowań — dokładnie tak, jak dzieje się z prawdziwą talią kart czy skończoną partią produktów. Jeśli próba jest mała w porównaniu z populacją (np. poniżej 5–10%), oba rozkłady dają niemal identyczne wyniki.
Kalkulator podaje od razu prawdopodobieństwo każdego wyniku, co często bywa bardziej przydatne niż sama wartość dokładna. Na przykład kontroler jakości może potrzebować \(P(X \ge k)\) — szansy znalezienia co najmniej pewnej liczby elementów wadliwych — podczas gdy gracz w karty może chcieć znać \(P(X \le k)\), szansę wylosowania co najwyżej kilku kluczowych kart. Średnia \(E(X) = nK/N\) mówi, ile sukcesów można oczekiwać w typowej próbie; to po prostu liczebność próby pomnożona przez częstość sukcesów w populacji.
Kształt rozkładu zależy od parametrów: może być symetryczny, skośny w stronę małej liczby sukcesów lub skośny w stronę dużej liczby sukcesów. Możliwe wartości \(X\) są również ograniczone — nie można wylosować więcej sukcesów, niż istnieje w populacji, ani więcej elementów, niż się losuje, dlatego liczba sukcesów mieści się w przedziale \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\). Kalkulator automatycznie zwraca prawdopodobieństwo zero, jeśli Twoje \(k\) wykracza poza ten zakres.
Założenia, ograniczenia i wskazówki
- Losowanie bez zwracania: model zakłada, że wylosowane elementy nie wracają do populacji. Jeśli elementy są zwracane po każdym losowaniu, użyj zamiast tego kalkulatora rozkładu dwumianowego.
- Stała liczebność próby: liczba losowań \(n\) musi być ustalona z góry i pozostać stała. Jeśli liczysz zdarzenia zachodzące losowo w ustalonym przedziale czasu lub przestrzeni, lepszym narzędziem jest kalkulator rozkładu Poissona.
- Równe szanse dla każdej próby: każdy możliwy podzbiór \(n\) elementów musi mieć taką samą szansę zostania wylosowanym. Jeśli niektóre elementy mają większe prawdopodobieństwo wyboru, model hipergeometryczny nie ma zastosowania.
- Tylko liczby całkowite: \(N\), \(K\), \(n\) i \(k\) muszą być liczbami całkowitymi, przy czym \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) oraz \(0 \le k \le n\).
- Duże populacje: gdy \(n\) jest małe względem \(N\), rozkład hipergeometryczny jest dobrze przybliżany rozkładem dwumianowym (a przy dużych liczebnościach — rozkładem normalnym), ale ten kalkulator podaje wynik dokładny, bez żadnego przybliżenia.
- Sprawdź współczynniki dwumianowe: podstawiony wzór używa zapisu \(\binom{a}{b}\). Te wartości możesz zweryfikować kalkulatorem permutacji i kombinacji.
- Interpretacja zerowego prawdopodobieństwa: wynik 0% oznacza zwykle, że Twoje \(k\) jest niemożliwe — na przykład prosząc o 3 sukcesy, gdy populacja zawiera tylko 2 elementy będące sukcesem.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć prawdopodobieństwo hipergeometryczne ręcznie?
Policz liczbę sposobów wyboru oczekiwanych sukcesów spośród elementów będących sukcesem \(\binom{K}{k}\), pomnóż przez liczbę sposobów uzupełnienia pozostałych losowań z elementów niebędących sukcesem \(\binom{N-K}{n-k}\) i podziel przez całkowitą liczbę możliwych prób \(\binom{N}{n}\). Przy małych liczbach dobrze sprawdzają się silnie: \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Przy większych użyj kalkulatora, aby uniknąć błędów rachunkowych przy ogromnych silniach.
Jak uzyskać prawdopodobieństwo co najmniej lub co najwyżej k sukcesów?
Kalkulator podaje bezpośrednio wszystkie cztery prawdopodobieństwa skumulowane. Co najmniej k to \(P(X \ge k)\); co najwyżej k to \(P(X \le k)\). Ręcznie trzeba by zsumować dokładne prawdopodobieństwa każdego wyniku z tego zakresu, np. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\), co szybko robi się uciążliwe — i dokładnie to robią za Ciebie wyniki skumulowane.
Dlaczego otrzymałem prawdopodobieństwo równe dokładnie 0?
Zerowy wynik niemal zawsze oznacza, że żądana liczba sukcesów jest niemożliwa. Próba nie może zawierać więcej sukcesów, niż istnieje w populacji (\(k \le K\)), więcej sukcesów niż losowań (\(k \le n\)), ani mniej sukcesów, niż jest wymuszonych w próbie, gdy prawie wszystkie pozostałe elementy to sukcesy. Wynik z podstawionym wzorem pokazuje dopuszczalny zakres dla Twoich parametrów, a każde \(k\) spoza niego to faktycznie 0%.
Jaka jest różnica między P(X = k) i P(X ≤ k)?
\(P(X = k)\) to prawdopodobieństwo trafienia dokładnie tej liczby sukcesów — na przykład dokładnie 2 kiery w 5 kartach. \(P(X \le k)\) to prawdopodobieństwo tej liczby albo mniejszej — 0, 1 lub 2 kiery. Wartość skumulowana jest zawsze większa. Uważaj, o którą prosi Twoje zadanie: „co najwyżej 2”
Czy mogę użyć tego kalkulatora do szans w loterii?
Tak — loterie to klasyczne zastosowanie rozkładu hipergeometrycznego: kulki losuje się bez zwracania ze skończonej puli. Ustaw \(N\) na całkowitą liczbę kulek, \(K\) na liczbę trafień na Twoim kuponie, \(n\) na liczbę losowanych kulek, a \(k\) na liczbę trafień, o którą pytasz. Na przykład w grach typu „6 z 49”
Jakie są najczęstsze błędy przy wpisywaniu wartości?
Największy to pomylenie kolejności: \(N\) to cała populacja, \(K\) tylko elementy o pożądanej cechu, a \(n\) liczebność próby — nie odwrotnie. Innym częstym błędem jest użycie modelu hipergeometrycznego dla losowań ze zwracaniem, które wymaga rozkładu dwumianowego. Na koniec wszystkie cztery wartości muszą być liczbami całkowitymi; ułamkowe liczby elementów czy losowań nie są poprawnymi danymi wejściowymi.
Co faktycznie oznacza średnia E(X) = nK/N?
To średnia liczba sukcesów, jakiej można by oczekiwać w próbie, gdyby losowanie powtarzano wiele razy — po prostu liczebność próby pomnożona przez częstość sukcesów w populacji. Jeśli 20% partii części jest wadliwych i kontrolujesz 10 sztuk, średnia wynosi 2 elementy wadliwe. Pamiętaj, że poszczególne próby wahają się wokół tej wartości; o tym, o ile, mówi odchylenie standardowe, a średnia często nie jest nawet liczbą całkowitą ani najbardziej prawdopodobnym pojedynczym wynikiem.