Calculadora da Distribuição Hipergeométrica

Como Usar a Calculadora

1. Insira o Tamanho da população \(N\) — o número total de itens de onde você está retirando.
2. Insira os Sucessos na população \(K\) — quantos desses itens têm a propriedade que lhe interessa.
3. Insira as Retiradas (tamanho da amostra) \(n\) — quantos itens você retira sem reposição.
4. Insira os Sucessos desejados \(k\) — o número de sucessos que você quer na sua amostra.
5. Leia os resultados: a probabilidade exata \(P(X = k)\), as probabilidades acumuladas \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (todas em porcentagem), além da média, do desvio padrão, da fórmula com seus valores substituídos e de uma interpretação em linguagem simples.

O Que É a Distribuição Hipergeométrica?

A distribuição hipergeométrica descreve o número de sucessos obtidos ao retirar uma quantidade fixa de itens sem reposição de uma população finita. É o modelo correto sempre que cada retirada altera a composição do que resta — distribuir cartas de um baralho, retirar peças de um lote para inspeção de qualidade, selecionar pessoas para uma pesquisa em um grupo pequeno ou sortear números de loteria.

Seu parente mais próximo é a distribuição binomial, que se aplica quando os itens são retirados com reposição (ou de uma população efetivamente infinita), de modo que cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. Na distribuição hipergeométrica, cada sucesso removido reduz a taxa de sucesso das retiradas restantes, o que é exatamente o que acontece com um baralho real de cartas ou um lote finito de produtos. Se a amostra é pequena em comparação com a população (digamos, menos de 5–10%), as duas distribuições fornecem respostas quase idênticas.

A calculadora informa de uma vez a probabilidade de todos os resultados, o que muitas vezes é mais útil do que apenas o valor exato. Por exemplo, um inspetor de qualidade pode precisar de \(P(X \ge k)\) — a chance de encontrar pelo menos um certo número de itens defeituosos — enquanto um jogador de cartas pode querer \(P(X \le k)\), a chance de retirar no máximo algumas cartas-chave. A média \(E(X) = nK/N\) indica o número esperado de sucessos em uma amostra média; é simplesmente o tamanho da amostra multiplicado pela taxa de sucesso da população.

O formato da distribuição depende dos parâmetros: ela pode ser simétrica, assimétrica em direção a poucos sucessos ou assimétrica em direção a muitos. Os valores possíveis de \(X\) também são limitados — não é possível retirar mais sucessos do que existem na população nem mais itens do que se retira, de modo que o número de sucessos fica restrito ao intervalo \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\). A calculadora retorna automaticamente uma probabilidade de zero se o seu \(k\) estiver fora desse intervalo.

Suposições, Limitações e Dicas

• Amostragem sem reposição: o modelo assume que os itens retirados não são devolvidos à população. Se os itens forem repostos após cada retirada, use a Calculadora da Distribuição Binomial.
• Tamanho de amostra fixo: o número de retiradas \(n\) deve ser decidido com antecedência e permanecer fixo. Se você conta eventos que ocorrem aleatoriamente em um intervalo fixo de tempo ou espaço, a Calculadora da Distribuição de Poisson é a ferramenta mais adequada.
• Amostras igualmente prováveis: cada subconjunto possível de \(n\) itens deve ter a mesma chance de ser retirado. Se alguns itens têm maior probabilidade de serem selecionados, o modelo hipergeométrico não se aplica.
• Apenas números inteiros: \(N\), \(K\), \(n\) e \(k\) devem ser inteiros, com \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) e \(0 \le k \le n\).
• Populações grandes: quando \(n\) é pequeno em relação a \(N\), a distribuição hipergeométrica é bem aproximada pela binomial (ou, para contagens grandes, pela distribuição normal), mas esta calculadora fornece o resultado exato, sem necessidade de aproximação.
• Confira os coeficientes binomiais: a fórmula substituída usa a notação \(\binom{a}{b}\). Você pode verificar esses valores com a Calculadora de Permutações e Combinações.
• Interpretando probabilidade zero: um resultado de 0% normalmente significa que o seu \(k\) é impossível — por exemplo, pedir 3 sucessos quando a população contém apenas 2 itens de sucesso.